4e⏱ 4 séances

Translations et parallélogrammes

Ce que tu vas apprendre

Comprendre et représenter l'effet d'une translation
Construire l'image d'un point ou d'une figure par une translation
Faire le lien entre translation et parallélogramme
Connaître et utiliser les propriétés de conservation des translations

Notions cléstranslationvecteur (introduction intuitive)conservation des longueurs et des angles

1. Comprendre l’effet d’une translation

Définition. Une translation est une transformation qui déplace tous les points d’une figure dans la même direction, le même sens, et sur la même distance, sans jamais faire tourner ni déformer la figure.

Une translation déplace toute la figure dans la même direction, sans la faire tourner ni la déformer.

Exemple. Faire glisser une pièce d’un jeu de société d’une case vers la droite, sans la faire tourner, est une translation.

Vocabulaire. La flèche qui indique la direction, le sens et la longueur d’une translation s’appelle un vecteur. Pour l’instant, on l’utilise seulement pour décrire et représenter une translation ; tu étudieras les vecteurs de façon plus approfondie (notation $\overrightarrow{AB}$ , calculs sur les vecteurs) en classe de 3e.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Construire l’image d’un point ou d’une figure par translation

📋 Méthode — Construire l'image par une translation

Repérer la direction, le sens et la longueur du déplacement donné (par une flèche, ou par une indication du type « $4$ carreaux vers la droite et $3$ carreaux vers le bas »).
Sur un quadrillage : à partir du point à transformer, compter le même nombre de carreaux, dans la même direction et le même sens, pour placer son image.
Sur une figure sans quadrillage : tracer, par le point à transformer, une droite parallèle à la direction donnée, puis reporter sur cette parallèle, dans le bon sens, la longueur donnée (à l’aide d’un compas ou d’une règle graduée).
Recommencer pour chaque point de la figure (chaque sommet d’un polygone, par exemple), puis relier les images dans le même ordre que les points de départ.

Pour construire l'image de

M

, on compte le même nombre de carreaux, dans le même sens, que celui indiqué par la translation.

Exemple. Pour construire l’image d’un point par une translation de « $4$ carreaux vers la droite et $3$ carreaux vers le bas », on part du point, on compte $4$ carreaux vers la droite, puis $3$ carreaux vers le bas : on obtient directement l’image.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Translation et parallélogramme

Propriété. Si un point $B$ est l’image d’un point $A$ par une translation, et qu’un point $D$ est l’image d’un point $C$ par cette même translation, alors le quadrilatère $ABDC$ (formé en reliant les points dans le bon ordre) est un parallélogramme.

Exemple. Si une translation envoie $A$ sur $B$ et $C$ sur $D$ , le segment $[AB]$ et le segment $[CD]$ ont la même longueur et la même direction : c’est exactement la propriété qui caractérise les côtés opposés d’un parallélogramme.

Attention. Il faut bien associer les points dans le bon ordre : c’est $A$ qui devient $B$ , et $C$ qui devient $D$ , sous l’effet d’une même translation. Le quadrilatère obtenu en reliant $A$ , $B$ , $D$ , $C$ dans cet ordre précis est le parallélogramme.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Propriétés de conservation des translations

Propriété. Comme la symétrie axiale et le demi-tour, une translation conserve les longueurs, les angles, les aires, et l’alignement des points : l’image d’une figure par translation a exactement les mêmes mesures que la figure de départ, et si des points étaient alignés avant la translation, leurs images le restent après.

Exemple. L’image d’un triangle de côtés $5\,\text{cm}$ , $7\,\text{cm}$ , $9\,\text{cm}$ par une translation est encore un triangle de côtés $5\,\text{cm}$ , $7\,\text{cm}$ , $9\,\text{cm}$ . Si trois points $E$ , $F$ , $G$ sont alignés, leurs images $E'$ , $F'$ , $G'$ sont elles aussi alignées.

→ S’entraîner : Exercice 4