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4e⏱ 45 minutes

Translations et parallélogrammes — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points.

Exercice 1 (4 points) — Comprendre l'effet d'une translation

  1. Donne la définition d'une translation, en citant les trois éléments qui la caractérisent. (2 points)
  2. Une translation peut-elle faire tourner une figure ou la déformer ? (1 point)
  3. Comment appelle-t-on la flèche qui caractérise une translation ? (1 point)
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  1. Une translation est une transformation qui déplace tous les points d'une figure dans la même direction, le même sens, et sur la même distance (la même longueur).
  2. Non. Une translation ne fait jamais tourner ni déformer une figure : elle se contente de la faire glisser.
  3. Cette flèche s'appelle un vecteur.

Exercice 2 (4 points) — Construire l'image par translation

Dans un repère, on place les points G(2 ; 5)G(2\,;\,5) et H(6 ; 5)H(6\,;\,5). On leur applique une translation de 33 carreaux vers la gauche et 44 carreaux vers le bas.

  1. Donne les coordonnées des points images G′G' et H′H'. (2 points)
  2. Calcule les longueurs GHGH et G′H′G'H'. Que remarques-tu ? (2 points)
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  1. Pour trouver l'image d'un point par cette translation, on retranche 33 à son abscisse et 44 à son ordonnée. On obtient donc G′(2−3 ; 5−4)=G′(−1 ; 1)G'(2-3\,;\,5-4) = G'(-1\,;\,1) et H′(6−3 ; 5−4)=H′(3 ; 1)H'(6-3\,;\,5-4) = H'(3\,;\,1).
  2. GG et HH ont la même ordonnée (55) : GHGH est la différence de leurs abscisses, GH=6−2=4GH = 6 - 2 = 4. De même, G′G' et H′H' ont la même ordonnée (11) : G′H′=3−(−1)=4G'H' = 3 - (-1) = 4. On trouve GH=G′H′=4GH = G'H' = 4 : la translation conserve bien la longueur, comme attendu.

Exercice 3 (4 points) — Translation et parallélogramme

Une translation envoie le point PP sur le point QQ, et le point RR sur le point SS.

  1. Quel quadrilatère peut-on former à partir de ces quatre points ? (1 point)
  2. Si PR=8,4 cmPR = 8{,}4\,\text{cm}, calcule QSQS. (1 point)
  3. Si PQ=5,2 cmPQ = 5{,}2\,\text{cm}, que peux-tu dire de RSRS ? (2 points)
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  1. D'après la propriété du cours, lorsqu'une translation envoie PP sur QQ et RR sur SS, le quadrilatère obtenu en reliant ces points dans l'ordre PQSRPQSR est un parallélogramme.
  2. Dans ce parallélogramme, [PR][PR] et [QS][QS] sont deux côtés opposés, donc de même longueur : QS=PR=8,4 cmQS = PR = 8{,}4\,\text{cm}.
  3. De même, [PQ][PQ] et [RS][RS] sont deux côtés opposés du parallélogramme : ils ont donc la même longueur, RS=PQ=5,2 cmRS = PQ = 5{,}2\,\text{cm}.

Exercice 4 (4 points) — Propriétés de conservation

Un rectangle IJKLIJKL a pour côtés IJ=6 cmIJ = 6\,\text{cm} et JK=3,5 cmJK = 3{,}5\,\text{cm}, et une aire de 21 cm221\,\text{cm}^2. On lui applique une translation pour obtenir le rectangle I′J′K′L′I'J'K'L'.

  1. Donne les longueurs des côtés de I′J′K′L′I'J'K'L'. (1 point)
  2. Donne l'aire de I′J′K′L′I'J'K'L'. (1 point)
  3. Trois points RR, SS, TT sont alignés. Que peux-tu dire de leurs images R′R', S′S', T′T' par une translation ? (2 points)
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  1. Une translation conserve toujours les longueurs : chaque côté du rectangle image a donc la même longueur que le côté correspondant du rectangle de départ, soit I′J′=6 cmI'J' = 6\,\text{cm} et J′K′=3,5 cmJ'K' = 3{,}5\,\text{cm}.
  2. Une translation conserve aussi les aires : l'aire de I′J′K′L′I'J'K'L' est donc identique à celle de IJKLIJKL, soit 21 cm221\,\text{cm}^2.
  3. Une translation conserve l'alignement des points : si RR, SS, TT sont alignés, leurs images R′R', S′S', T′T' sont elles aussi alignées.

Exercice 5 (4 points) — Répéter une translation

Une frise décorative est créée en répétant un motif par une même translation, plusieurs fois de suite. Le sommet de départ du motif est le point A(1 ; 2)A(1\,;\,2). La translation utilisée déplace chaque point de 55 carreaux vers la droite. On applique cette translation 44 fois de suite pour obtenir 44 copies du motif.

  1. Donne les coordonnées du sommet obtenu après la 1re1^{\text{re}} translation, puis après la 4e4^{\text{e}}. (2 points)
  2. Quelle translation unique, appliquée directement au point de départ AA, donnerait le même résultat final qu'après les 44 translations successives ? (1 point)
  3. Quelle est la distance totale parcourue par le sommet entre le motif de départ et la 4e4^{\text{e}} copie ? (1 point)
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  1. Après la 1re1^{\text{re}} translation, le sommet a pour coordonnées (1+5 ; 2)=(6 ; 2)(1+5\,;\,2) = (6\,;\,2). Après la 4e4^{\text{e}} translation, on a ajouté 44 fois 55 carreaux vers la droite à l'abscisse de départ : (1+4×5 ; 2)=(21 ; 2)(1 + 4 \times 5\,;\,2) = (21\,;\,2).
  2. Faire 44 translations successives de 55 carreaux vers la droite revient à faire une seule translation de 4×5=204 \times 5 = 20 carreaux vers la droite.
  3. La distance totale parcourue est la différence entre l'abscisse d'arrivée et l'abscisse de départ : 21−1=2021 - 1 = 20 carreaux — on retrouve exactement le résultat de la question 2, ce qui confirme la cohérence des deux méthodes. ✓