4e

Théorème de Pythagore et réciproque — Exercices d'application

1. Le théorème de Pythagore

Un triangle $MNP$ est rectangle en $M$ . Écris l’égalité de Pythagore pour ce triangle.
Un triangle $XYZ$ est rectangle en $Y$ . Quel est le côté qui joue le rôle de l’hypoténuse ?

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L’hypoténuse est toujours le côté opposé à l’angle droit. Ici, le triangle est rectangle en $M$ , donc l’hypoténuse est $[NP]$ . Le théorème de Pythagore s’écrit donc : $NP^2 = MN^2 + MP^2$ .
L’angle droit est au sommet $Y$ : l’hypoténuse est donc le côté qui ne touche pas ce sommet, c’est-à-dire $[XZ]$ .

Vérifie par le calcul que $8-15-17$ est bien un triplet pythagoricien.
Un triangle a pour côtés $16\,\text{cm}$ , $30\,\text{cm}$ et $34\,\text{cm}$ . Sans refaire tous les calculs, explique pourquoi ce triangle est rectangle, en remarquant un lien avec la question précédente.
Un triangle a pour côtés $12\,\text{cm}$ , $16\,\text{cm}$ et $20\,\text{cm}$ . Quel triplet pythagoricien usuel reconnais-tu comme lié à celui-ci ? Vérifie ta réponse par le calcul.
Explique en une phrase pourquoi la corde à $13$ nœuds des bâtisseurs égyptiens permet de tracer un angle droit, en citant le triplet pythagoricien utilisé.

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On compare $17^2$ et $8^2 + 15^2$ : $17^2 = 289$ et $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$ . Les deux résultats sont égaux, donc $8-15-17$ est bien un triplet pythagoricien.
Les côtés $16$ , $30$ et $34$ sont exactement le double de $8$ , $15$ et $17$ ( $16 = 2 \times 8$ , $30 = 2 \times 15$ , $34 = 2 \times 17$ ). D’après la propriété du cours, tout multiple d’un triplet pythagoricien en est aussi un : ce triangle est donc rectangle, sans qu’il soit nécessaire de refaire le calcul.
Les côtés $12$ , $16$ et $20$ sont le quadruple du triplet usuel $3-4-5$ ( $12 = 4 \times 3$ , $16 = 4 \times 4$ , $20 = 4 \times 5$ ). Vérification : $20^2 = 400$ et $12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$ . Les deux résultats sont égaux, ce qui confirme que ce triangle est rectangle.
La corde à $13$ nœuds forme un triangle dont les côtés comptent $3$ , $4$ et $5$ intervalles : comme $3-4-5$ est un triplet pythagoricien ( $3^2 + 4^2 = 5^2$ ), la réciproque du théorème de Pythagore garantit que l’angle entre les côtés de $3$ et $4$ intervalles est toujours un angle droit, quelle que soit la taille de la corde.

Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB = 6\,\text{cm}$ et $AC = 8\,\text{cm}$ . Calcule $BC$ .
Un triangle $DEF$ est rectangle en $D$ , avec l’hypoténuse $EF = 17\,\text{cm}$ et $DE = 8\,\text{cm}$ . Calcule $DF$ .
Un triangle $GHI$ est rectangle en $G$ , avec $GH = 5\,\text{cm}$ et $GI = 12\,\text{cm}$ . Calcule $HI$ .

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Le triangle étant rectangle en $A$ , l’hypoténuse est $[BC]$ : d’après le théorème de Pythagore, $BC^2 = AB^2 + AC^2$ . On calcule : $BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ . La longueur elle-même s’obtient en prenant la racine carrée : $BC = \sqrt{100} = 10\,\text{cm}$ .
Ici, c’est un côté de l’angle droit qui est cherché, et non l’hypoténuse. On repart de la même égalité, $EF^2 = DE^2 + DF^2$ , mais cette fois on isole $DF^2$ en soustrayant : $17^2 = 8^2 + DF^2$ , soit $289 = 64 + DF^2$ , donc $DF^2 = 289 - 64 = 225$ . On termine en prenant la racine carrée : $DF = \sqrt{225} = 15\,\text{cm}$ .
Le triangle étant rectangle en $G$ , l’hypoténuse est $[HI]$ : $HI^2 = GH^2 + GI^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ . On obtient $HI = \sqrt{169} = 13\,\text{cm}$ .

Un triangle a pour côtés $9\,\text{cm}$ , $12\,\text{cm}$ et $15\,\text{cm}$ .

Identifie le plus grand côté de ce triangle.
Calcule le carré de ce plus grand côté, puis la somme des carrés des deux autres.
Ce triangle est-il rectangle ? Si oui, précise en quel sommet.

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En comparant les trois longueurs données, le plus grand côté est celui de $15\,\text{cm}$ : c’est lui qui, si le triangle est rectangle, devra jouer le rôle de l’hypoténuse.
On calcule d’un côté le carré du plus grand côté : $15^2 = 225$ . On calcule de l’autre côté la somme des carrés des deux côtés restants : $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$ .
Les deux résultats obtenus sont exactement égaux ( $225 = 225$ ). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, cette égalité permet d’affirmer que le triangle est bien rectangle, avec l’angle droit opposé au plus grand côté, c’est-à-dire au sommet opposé au côté de $15\,\text{cm}$ .

(Remarque : $9-12-15$ est le triple du triplet pythagoricien $3-4-5$ — on retrouve ici le lien avec la section précédente.)

Un triangle a pour côtés $7\,\text{cm}$ , $9\,\text{cm}$ et $11\,\text{cm}$ .

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Le plus grand côté est celui de $11\,\text{cm}$ : $11^2 = 121$ . La somme des carrés des deux autres côtés est $7^2 + 9^2 = 49 + 81 = 130$ .
On compare les deux résultats : $121 \neq 130$ . Comme cette égalité de Pythagore n’est pas vérifiée, on peut conclure, grâce à la contraposée du théorème de Pythagore, que ce triangle n’est pas rectangle.

Une échelle de $5\,\text{m}$ de long est posée contre un mur vertical. Le pied de l’échelle est placé à $3\,\text{m}$ du mur.

Fais un schéma de la situation, en identifiant le triangle rectangle formé par le mur, le sol et l’échelle.
Calcule la hauteur atteinte par le haut de l’échelle contre le mur.
Pour des raisons de sécurité, l’échelle doit désormais être positionnée de sorte que son pied soit à $2\,\text{m}$ du mur, sans changer sa longueur. Calcule la nouvelle hauteur atteinte.
La hauteur atteinte a-t-elle augmenté ou diminué en rapprochant le pied de l’échelle du mur ?

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Le mur, supposé vertical, et le sol, horizontal, forment un angle droit à leur pied commun. Le triangle rectangle est donc formé par : le segment le long du sol (distance du pied de l’échelle au mur, $3\,\text{m}$ ), le segment le long du mur (hauteur atteinte, inconnue), et l’échelle elle-même, qui relie les deux et joue le rôle d’hypoténuse ( $5\,\text{m}$ ), puisqu’elle est opposée à l’angle droit.
On applique le théorème de Pythagore, avec $h$ la hauteur cherchée : $5^2 = 3^2 + h^2$ , soit $25 = 9 + h^2$ . On isole $h^2$ en soustrayant $9$ : $h^2 = 25 - 9 = 16$ . On termine par la racine carrée : $h = \sqrt{16} = 4\,\text{m}$ . (On reconnaît d’ailleurs le triplet pythagoricien $3-4-5$ .)
On refait le même raisonnement avec la nouvelle distance au mur ( $2\,\text{m}$ ) et la même longueur d’échelle : $5^2 = 2^2 + h'^2$ , soit $25 = 4 + h'^2$ , donc $h'^2 = 25 - 4 = 21$ . On obtient $h' = \sqrt{21} \approx 4{,}58\,\text{m}$ .
En comparant les deux hauteurs trouvées, $4\,\text{m}$ et environ $4{,}58\,\text{m}$ , on constate que la hauteur atteinte a augmenté : rapprocher le pied de l’échelle du mur, sans changer sa longueur, permet donc à l’échelle de monter plus haut le long du mur.