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Théorème de Pythagore et réciproque

Ce que tu vas apprendre

Connaître l'énoncé du théorème de Pythagore
Reconnaître les triplets pythagoriciens usuels
Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle
Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour prouver qu'un triangle est rectangle
Utiliser la contraposée pour prouver qu'un triangle n'est pas rectangle

Notions cléshypoténusethéorème de Pythagoretriplet pythagoricienréciproque, contraposée

1. Le théorème de Pythagore

Définition. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse : c’est toujours le plus long côté du triangle.

Propriété (théorème de Pythagore). Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , alors $BC^2 = AB^2 + AC^2$ c’est-à-dire que le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Le triangle

ABC

est rectangle en

A

: l'hypoténuse est le côté

[BC]

, opposé à l'angle droit.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Les triplets pythagoriciens

Définition. Un triplet pythagoricien est un groupe de trois nombres entiers $a$ , $b$ , $c$ tels que $a^2 + b^2 = c^2$ : ce sont les longueurs possibles des côtés d’un triangle rectangle avec des mesures entières. Les reconnaître permet de vérifier rapidement, sans calculatrice, qu’un triangle est rectangle.

À connaître. Les triplets les plus courants : $3-4-5$ , $5-12-13$ et $8-15-17$ . Propriété. Tout multiple d’un triplet pythagoricien en est aussi un : par exemple, $6-8-10$ (le double de $3-4-5$ ) et $9-12-15$ (son triple) sont aussi des triplets pythagoriciens.

Histoire des maths. Les bâtisseurs égyptiens utilisaient une corde à $13$ nœuds, espacés régulièrement en $12$ intervalles égaux, pour tracer des angles droits sur leurs chantiers : en tendant la corde en triangle avec $3$ , $4$ puis $5$ intervalles sur chaque côté, l’angle entre les côtés de $3$ et $4$ intervalles est toujours droit — une application très concrète du triplet $3-4-5$ , encore utilisée par certains maçons au XX $^\text{e}$ siècle.

La corde à 13 nœuds forme un triangle 3 – 4 – 5 : l'angle entre les côtés 3 et 4 est droit.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Calculer une longueur avec Pythagore

📋 Méthode — Calculer l'hypoténuse

Identifier l’angle droit du triangle, pour repérer l’hypoténuse.
Écrire l’égalité de Pythagore avec les longueurs connues.
Calculer la somme des carrés des deux côtés de l’angle droit.
Calculer la racine carrée de cette somme pour obtenir l’hypoténuse.

Exemple. Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB = 3\,\text{cm}$ et $AC = 4\,\text{cm}$ . On calcule $BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ , donc $BC = \sqrt{25} = 5\,\text{cm}$ .

📋 Méthode — Calculer un côté de l'angle droit

Écrire l’égalité de Pythagore avec les longueurs connues.
Isoler le carré du côté cherché, en soustrayant l’autre carré connu du carré de l’hypoténuse.
Calculer la racine carrée du résultat obtenu.

Exemple. Un triangle $DEF$ est rectangle en $D$ , avec l’hypoténuse $EF = 13\,\text{cm}$ et $DE = 5\,\text{cm}$ . On a $EF^2 = DE^2 + DF^2$ , donc $13^2 = 5^2 + DF^2$ , donc $169 = 25 + DF^2$ , donc $DF^2 = 144$ , donc $DF = \sqrt{144} = 12\,\text{cm}$ .

→ S’entraîner : Exercice 3

4. La réciproque du théorème de Pythagore

Propriété (réciproque). Si, dans un triangle $ABC$ , l’égalité $BC^2 = AB^2 + AC^2$ est vraie (avec $BC$ le plus grand côté), alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .

📋 Méthode — Prouver qu'un triangle est rectangle

Identifier le plus grand côté du triangle : c’est le candidat pour être l’hypoténuse.
Calculer séparément le carré du plus grand côté, et la somme des carrés des deux autres côtés.
Comparer les deux résultats : s’ils sont égaux, le triangle est rectangle (d’après la réciproque) ; sinon, il ne l’est pas.

Exemple. Un triangle a pour côtés $6\,\text{cm}$ , $8\,\text{cm}$ et $10\,\text{cm}$ . On compare $10^2 = 100$ et $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ . Les deux résultats sont égaux : ce triangle est rectangle, avec l’angle droit opposé au côté de $10\,\text{cm}$ .

→ S’entraîner : Exercice 4

5. La contraposée : prouver qu’un triangle n’est pas rectangle

Définition. La contraposée d’un théorème du type « si $P$ alors $Q$ » est l’énoncé « si non $Q$ alors non $P$ ». Une propriété et sa contraposée sont toujours vraies en même temps.

Méthode. Si, en comparant le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres, on trouve deux résultats différents, alors le triangle n’est pas rectangle.

Exemple. Un triangle a pour côtés $5\,\text{cm}$ , $6\,\text{cm}$ et $8\,\text{cm}$ . On compare $8^2 = 64$ et $5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$ . Comme $64 \neq 61$ , ce triangle n’est pas rectangle.

→ S’entraîner : Exercice 5