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Théorème de Pythagore et réciproque — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points.

Exercice 1 (4 points) — Le théorème de Pythagore

Un triangle $IJK$ est rectangle en $J$ .

Quel est le côté qui joue le rôle de l'hypoténuse ? (1 point)
Écris l'égalité de Pythagore pour ce triangle. (1 point)
Un triangle a pour côtés $5\,\text{cm}$ , $12\,\text{cm}$ et $13\,\text{cm}$ , et l'on sait qu'il est rectangle. Quel côté est nécessairement l'hypoténuse ? Justifie à l'aide de la définition du cours. (1 point)
Vrai ou faux, justifie : « L'hypoténuse est toujours le côté le plus court d'un triangle rectangle. » (1 point)

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L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. Le triangle étant rectangle en $J$ , l'hypoténuse est donc $[IK]$ .
Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : $IK^2 = IJ^2 + JK^2$ .
L'hypoténuse est toujours le plus long côté d'un triangle rectangle. Parmi $5\,\text{cm}$ , $12\,\text{cm}$ et $13\,\text{cm}$ , le plus long est $13\,\text{cm}$ : c'est donc nécessairement l'hypoténuse.
Faux. D'après la définition du cours, l'hypoténuse est toujours le côté le plus long d'un triangle rectangle (c'est le côté opposé à l'angle droit, qui est le plus grand angle du triangle), et non le plus court.

Exercice 2 (4 points) — Les triplets pythagoriciens

Vérifie par le calcul que $7-24-25$ est un triplet pythagoricien. (1 point)
Un triangle a pour côtés $14\,\text{cm}$ , $48\,\text{cm}$ et $50\,\text{cm}$ . Sans refaire tous les calculs, explique pourquoi ce triangle est rectangle. (1 point)
Un triangle a pour côtés $15\,\text{cm}$ , $20\,\text{cm}$ et $25\,\text{cm}$ . Quel triplet pythagoricien usuel reconnais-tu ? Vérifie ta réponse par le calcul. (1 point)
Explique pourquoi la corde à $13$ nœuds permet de tracer un angle droit sur un chantier, sans utiliser d'équerre. (1 point)

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On compare $25^2$ et $7^2 + 24^2$ : $25^2 = 625$ et $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$ . Les deux résultats sont égaux, donc $7-24-25$ est bien un triplet pythagoricien.
Les côtés $14$ , $48$ et $50$ sont exactement le double de $7$ , $24$ et $25$ ( $14 = 2 \times 7$ , $48 = 2 \times 24$ , $50 = 2 \times 25$ ). D'après la propriété du cours, tout multiple d'un triplet pythagoricien en est aussi un : ce triangle est donc rectangle.
Les côtés $15$ , $20$ et $25$ sont le quintuple du triplet usuel $3-4-5$ ( $15 = 5 \times 3$ , $20 = 5 \times 4$ , $25 = 5 \times 5$ ). Vérification : $25^2 = 625$ et $15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$ . Les deux résultats sont égaux, ce qui confirme que ce triangle est rectangle.
La corde à $13$ nœuds forme un triangle dont les côtés comptent $3$ , $4$ et $5$ intervalles égaux. Comme $3-4-5$ est un triplet pythagoricien ( $3^2 + 4^2 = 5^2$ ), la réciproque du théorème de Pythagore garantit que l'angle entre les côtés de $3$ et $4$ intervalles est toujours droit, sans qu'il soit nécessaire de mesurer l'angle directement.

Exercice 3 (4 points) — Calculer une longueur avec Pythagore

Un triangle $STU$ est rectangle en $S$ , avec $ST = 9\,\text{cm}$ et $SU = 12\,\text{cm}$ . Calcule $TU$ . (2 points)
Un triangle $VWX$ est rectangle en $V$ , avec l'hypoténuse $WX = 25\,\text{cm}$ et $VW = 7\,\text{cm}$ . Calcule $VX$ . (2 points)

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Le triangle étant rectangle en $S$ , l'hypoténuse est $[TU]$ : d'après le théorème de Pythagore, $TU^2 = ST^2 + SU^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$ . On obtient $TU = \sqrt{225} = 15\,\text{cm}$ .
Ici, c'est un côté de l'angle droit qui est cherché. On repart de $WX^2 = VW^2 + VX^2$ , et l'on isole $VX^2$ : $25^2 = 7^2 + VX^2$ , soit $625 = 49 + VX^2$ , donc $VX^2 = 625 - 49 = 576$ . On termine par la racine carrée : $VX = \sqrt{576} = 24\,\text{cm}$ .

Exercice 4 (4 points) — La réciproque du théorème de Pythagore

Un triangle a pour côtés $10\,\text{cm}$ , $24\,\text{cm}$ et $26\,\text{cm}$ .

Identifie le plus grand côté de ce triangle. (1 point)
Calcule le carré de ce plus grand côté, puis la somme des carrés des deux autres. (2 points)
Ce triangle est-il rectangle ? Si oui, précise en quel sommet. (1 point)

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En comparant les trois longueurs données, le plus grand côté est celui de $26\,\text{cm}$ .
On calcule le carré du plus grand côté : $26^2 = 676$ . On calcule la somme des carrés des deux autres côtés : $10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$ .
Les deux résultats sont exactement égaux ( $676 = 676$ ). D'après la réciproque du théorème de Pythagore, ce triangle est donc rectangle, avec l'angle droit opposé au plus grand côté, c'est-à-dire au sommet opposé au côté de $26\,\text{cm}$ .

Exercice 5 (4 points) — Problème : vérifier un angle droit

Un jardinier veut vérifier que le coin de son terrain rectangulaire est bien un angle droit. Il mesure $6\,\text{m}$ et $8\,\text{m}$ le long des deux côtés à partir du coin, puis la diagonale entre ces deux points : il trouve $10{,}2\,\text{m}$ .

Si le coin était parfaitement un angle droit, quelle longueur de diagonale devrait-il obtenir d'après le théorème de Pythagore ? (2 points)
D'après la mesure réelle ( $10{,}2\,\text{m}$ ), le coin du terrain est-il parfaitement droit ? Justifie ta réponse en citant la propriété utilisée. (2 points)

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Si le coin était parfaitement droit, le triangle formé par les deux côtés mesurés ( $6\,\text{m}$ et $8\,\text{m}$ ) et la diagonale serait rectangle, avec la diagonale comme hypoténuse. D'après le théorème de Pythagore, cette diagonale mesurerait $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\,\text{m}$ .
La diagonale mesurée réellement ( $10{,}2\,\text{m}$ ) est différente de la valeur attendue pour un angle parfaitement droit ( $10\,\text{m}$ ). D'après la contraposée du théorème de Pythagore, si l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée, le triangle n'est pas rectangle : le coin du terrain n'est donc pas parfaitement un angle droit (il en est cependant très proche).