Statistiques : moyenne pondérée, médiane, étendue — Exercices d'application

Puisque chaque pointure a été vendue un nombre de fois différent, il faut calculer une moyenne pondérée : on multiplie chaque pointure par son effectif, on additionne ces produits, puis on divise par l’effectif total.

On calcule d’abord la somme pondérée en multipliant chaque pointure par son effectif : $38 \times 2 = 76$ ; $39 \times 5 = 195$ ; $40 \times 8 = 320$ ; $41 \times 4 = 164$ ; $42 \times 1 = 42$. On additionne ces cinq produits : $76 + 195 + 320 + 164 + 42 = 797$.

On calcule ensuite l’effectif total, en additionnant tous les effectifs : $2 + 5 + 8 + 4 + 1 = 20$ paires vendues.

La moyenne pondérée est le rapport entre ces deux résultats : $797 \div 20 = 39{,}85$, que l’on arrondit à $39{,}9$.

Pour déterminer une médiane, on range d’abord la série dans l’ordre croissant, puis on applique une règle différente selon que l’effectif total est pair ou impair.

1. On range la série : $2, 4, 6, 7, 9$. L’effectif total est $5$, un nombre impair : la médiane est donc directement la valeur qui se trouve exactement au milieu du classement, c’est-à-dire $6$ (il y a bien deux valeurs avant elle et deux après).
2. On range la série : $8, 12, 15, 21$. L’effectif total est $4$, un nombre pair : il n’y a donc pas une seule valeur centrale mais deux ($12$ et $15$), et la médiane est leur moyenne : $\dfrac{12 + 15}{2} = \dfrac{27}{2} = 13{,}5$.

1. Effectifs cumulés : $4$, puis $4+7=11$, puis $11+10=21$, puis $21+6=27$, puis $27+3=30$. L’effectif total ($30$) est pair : on cherche donc la $15^\text{e}$ et la $16^\text{e}$ valeur. Le cumulé passe de $11$ à $21$ à l’âge $14$ : les rangs $12$ à $21$ correspondent donc tous à l’âge $14$, y compris les rangs $15$ et $16$. La médiane est donc $\dfrac{14+14}{2} = 14$ ans.
2. Effectifs cumulés : $3$, puis $3+4=7$, puis $7+5=12$, puis $12+3=15$. L’effectif total ($15$) est impair : on cherche donc le rang $\dfrac{15+1}{2} = 8$. Le cumulé passe de $7$ à $12$ à la mesure $15$ : le rang $8$ correspond donc à la mesure $15$. La médiane est donc $15$ cm.

L’étendue d’une série se calcule en soustrayant la plus petite valeur de la plus grande : elle mesure l’écart maximal entre les données.

1. Pour la classe A, la plus grande note est $14$ et la plus petite est $10$ : étendue $= 14 - 10 = 4$.
2. Pour la classe B, la plus grande note est $19$ et la plus petite est $5$ : étendue $= 19 - 5 = 14$.
3. Plus l’étendue d’une série est grande, plus ses valeurs sont dispersées. Comme $14 > 4$, la classe B a des notes nettement plus dispersées que la classe A, dont les notes sont au contraire assez resserrées autour de leur moyenne.

1. On additionne tous les salaires puis on divise par leur nombre : $\dfrac{1\,800 + 1\,900 + 2\,000 + 2\,100 + 8\,000}{5} = \dfrac{15\,800}{5} = 3\,160$ €.
2. La série est déjà rangée dans l’ordre croissant, avec un effectif impair ($5$) : la médiane est donc la valeur centrale, $2\,000$ €.
3. La médiane représente bien mieux le salaire typique de cette entreprise. En effet, la moyenne ($3\,160$ €) est fortement tirée vers le haut par la valeur exceptionnelle du salaire du dirigeant ($8\,000$ €), qui ne reflète pas la situation des autres employés. La médiane, elle, n’est pas affectée par cette valeur extrême puisqu’elle ne dépend que de la position centrale dans le classement : elle donne donc une image beaucoup plus fidèle du salaire réellement perçu par la majorité des employés.

1. On additionne les scores de chaque équipe puis on divise par $5$. Équipe A : $\dfrac{180+195+200+205+220}{5} = \dfrac{1\,000}{5} = 200$. Équipe B : $\dfrac{150+190+205+215+240}{5} = \dfrac{1\,000}{5} = 200$. Les deux équipes ont exactement la même moyenne.
2. Les deux séries étant déjà rangées, avec un effectif impair ($5$), la médiane est la valeur centrale. Équipe A : $200$. Équipe B : $205$.
3. L’étendue se calcule en soustrayant le minimum du maximum. Équipe A : $220 - 180 = 40$. Équipe B : $240 - 150 = 90$.
4. Les deux affirmations du recruteur sont bien cohérentes avec les calculs. D’une part, le score maximal de l’équipe B ($240$) dépasse celui de l’équipe A ($220$), ce qui appuie l’idée d’un joueur vedette plus performant dans l’équipe B. D’autre part, l’étendue de l’équipe A ($40$) est bien plus faible que celle de l’équipe B ($90$), ce qui confirme que les performances des joueurs de l’équipe A sont plus resserrées — donc plus régulières — malgré une moyenne strictement identique entre les deux équipes. Cet exemple montre bien que la moyenne seule ne suffit pas à décrire entièrement une série de données.