4e⏱ 5 séances

Statistiques : moyenne pondérée, médiane, étendue

Ce que tu vas apprendre

Calculer une moyenne pondérée à partir de données brutes ou d'un tableau
Déterminer et interpréter la médiane d'une série, y compris à partir d'un tableau d'effectifs
Calculer et interpréter l'étendue d'une série
Comprendre l'effet d'une valeur extrême sur la médiane et la moyenne
Comparer deux séries statistiques à l'aide de ces indicateurs

Notions clésmoyenne pondéréemédiane, effectifs cumulésétenduevaleur extrême

1. La moyenne pondérée

Définition. Quand certaines valeurs d’une série apparaissent plusieurs fois (avec un effectif), on calcule une moyenne pondérée : on multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne ces produits, puis on divise par l’effectif total.

📋 Méthode — Calculer une moyenne pondérée

Multiplier chaque valeur de la série par son effectif.
Additionner tous les produits obtenus.
Diviser cette somme par l’effectif total (la somme de tous les effectifs).

Exemple. Un contrôle donne les notes suivantes : $12$ (effectif $3$ ), $15$ (effectif $5$ ), $8$ (effectif $2$ ). Somme pondérée : $12 \times 3 + 15 \times 5 + 8 \times 2 = 36 + 75 + 16 = 127$ . Effectif total : $3 + 5 + 2 = 10$ . Moyenne : $127 \div 10 = 12{,}7$ .

→ S’entraîner : Exercice 1

2. La médiane d’une série

Définition. La médiane d’une série de données est une valeur qui partage la série en deux groupes de même effectif : la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, l’autre moitié lui sont supérieures ou égales.

📋 Méthode — Déterminer une médiane

Ranger toutes les valeurs de la série dans l’ordre croissant.
Si l’effectif total est impair, la médiane est la valeur exactement au milieu du classement.
Si l’effectif total est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales du classement.

Exemple. Pour la série $4, 7, 9, 12, 15$ (5 valeurs, effectif impair), la médiane est la valeur du milieu : $9$ . Pour la série $3, 5, 8, 10$ (4 valeurs, effectif pair), la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales : $\dfrac{5 + 8}{2} = 6{,}5$ .

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Trouver la médiane à partir d’un tableau d’effectifs

Quand une série est donnée sous forme de tableau d’effectifs (comme pour la moyenne pondérée), il serait long de réécrire toutes les valeurs une par une pour trouver la médiane. On utilise à la place les effectifs cumulés.

📋 Méthode — Médiane à partir d'un tableau d'effectifs

Calculer les effectifs cumulés : additionner progressivement les effectifs de gauche à droite dans le tableau.
Si l’effectif total est impair, repérer le rang $\dfrac{n+1}{2}$ (où $n$ est l’effectif total) dans les effectifs cumulés, et lire la valeur correspondante.
Si l’effectif total est pair, repérer les rangs $\dfrac{n}{2}$ et $\dfrac{n}{2}+1$ , lire les deux valeurs correspondantes, puis calculer leur moyenne.

Exemple. Une classe de $24$ élèves obtient les notes suivantes :

Note 8 12 14 16 18
Effectif 3 6 9 4 2

Effectifs cumulés : $3$ , puis $3+6=9$ , puis $9+9=18$ , puis $18+4=22$ , puis $22+2=24$ . L’effectif total ( $24$ ) est pair, donc on cherche la $12^\text{e}$ et la $13^\text{e}$ valeur. Le cumulé passe de $9$ à $18$ à la note $14$ : les rangs $10$ à $18$ correspondent donc tous à la note $14$ , y compris les rangs $12$ et $13$ . La médiane est donc $\dfrac{14+14}{2} = 14$ .

Note	8	12	14	16	18
Effectif	3	6	9	4	2

Les effectifs cumulés permettent de repérer directement le rang de la médiane sans réécrire toute la série.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. L’étendue d’une série

Définition. L’étendue d’une série statistique est la différence entre sa plus grande valeur et sa plus petite valeur : elle mesure l’écart maximal entre les données.

Exemple. Pour la série $4, 7, 9, 12, 15$ , l’étendue est $15 - 4 = 11$ .

Propriété. Plus l’étendue d’une série est grande, plus les valeurs qui la composent sont dispersées.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. L’effet d’une valeur extrême

Attention. La moyenne est très sensible aux valeurs extrêmes (très grandes ou très petites), qui peuvent la faire beaucoup varier. La médiane, en revanche, est beaucoup moins sensible à ces valeurs, car elle ne dépend que de la position des valeurs dans le classement, pas de leur ampleur.

Exemple. Pour la série $10, 11, 12, 13, 90$ : la moyenne vaut $\dfrac{10+11+12+13+90}{5} = \dfrac{136}{5} = 27{,}2$ , très éloignée de la plupart des valeurs à cause du $90$ . La médiane, elle, vaut $12$ , ce qui représente beaucoup mieux la tendance générale de cette série.

La valeur extrême 90 tire la moyenne vers le haut, mais ne déplace pas la médiane.

→ S’entraîner : Exercice 5