4e

Repérage sur une droite et dans le plan — Exercices d'application

1. Placer et lire un nombre relatif sur une droite graduée

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Exercice 1 — ⭐

Sur une droite graduée de $1$ en $1$ , place les points d’abscisses $-4$ , $2$ et $-1$ .
Range dans l’ordre croissant les abscisses $-4$ , $2$ , $-1$ et $0$ .
Un point $A$ est situé $5$ graduations à gauche de $0$ . Quelle est son abscisse ?

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Sur une droite graduée, les abscisses positives se placent à droite de l’origine et les abscisses négatives à gauche. On place donc $-4$ à $4$ graduations à gauche de $0$ , $2$ à $2$ graduations à droite de $0$ , et $-1$ à $1$ graduation à gauche de $0$ .
Sur une droite graduée, l’ordre des nombres correspond à l’ordre de leur position de gauche à droite. Les nombres négatifs les plus « grands en valeur absolue » sont les plus à gauche, donc les plus petits : $-4 < -1 < 0 < 2$ .
Être situé « $5$ graduations à gauche de $0$ » signifie avoir une abscisse négative de valeur absolue $5$ : l’abscisse de $A$ est donc $-5$ .

2. Calculer une distance sur une droite graduée

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Exercice 2 — ⭐⭐

Sur une droite graduée, on place les points $A$ d’abscisse $-5$ , $B$ d’abscisse $3$ et $C$ d’abscisse $-2$ .

Calcule la distance $AB$ .
Calcule la distance $BC$ .
Calcule la distance $AC$ .
Le point $D$ a pour abscisse l’opposé de l’abscisse de $A$ . Sans calculer sa distance à $A$ , donne directement la distance entre $D$ et l’origine, en utilisant une propriété du cours.

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La distance entre deux points est la plus grande abscisse moins la plus petite. Entre $A(-5)$ et $B(3)$ , la plus grande abscisse est $3$ et la plus petite est $-5$ : $AB = 3 - (-5) = 8$ .
Entre $B(3)$ et $C(-2)$ , la plus grande abscisse est $3$ et la plus petite est $-2$ : $BC = 3 - (-2) = 5$ .
Entre $A(-5)$ et $C(-2)$ , la plus grande abscisse est $-2$ et la plus petite est $-5$ : $AC = -2 - (-5) = 3$ .
L’opposé de $-5$ est $5$ , donc $D$ a pour abscisse $5$ . D’après la propriété du cours, deux points d’abscisses opposées sont à la même distance de l’origine : comme $A$ (abscisse $-5$ ) est à $5$ unités de l’origine, $D$ (abscisse $5$ , l’opposée) est lui aussi à $5$ unités de l’origine.

3. Le repère orthogonal dans le plan

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Exercice 3 — ⭐⭐

Dans un repère orthogonal :

Place les points $A(3\,;\,4)$ , $B(-2\,;\,1)$ et $C(0\,;\,-3)$ .
Donne les coordonnées d’un point $D$ situé sur l’axe des abscisses, à $5$ unités à droite de l’origine.
Donne les coordonnées d’un point $E$ situé sur l’axe des ordonnées, à $2$ unités au-dessous de l’origine.

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Chaque point se place en suivant d’abord son abscisse (déplacement horizontal), puis son ordonnée (déplacement vertical). $A(3\,;\,4)$ se trouve donc à $3$ unités à droite et $4$ unités au-dessus de l’origine ; $B(-2\,;\,1)$ à $2$ unités à gauche (abscisse négative) et $1$ unité au-dessus ; $C(0\,;\,-3)$ a une abscisse nulle, donc il se trouve directement sur l’axe des ordonnées, à $3$ unités en dessous de l’origine.
Un point situé sur l’axe des abscisses a nécessairement une ordonnée nulle, puisque cet axe correspond justement à la hauteur $y = 0$ (propriété du cours). Comme le point est à $5$ unités à droite de l’origine, son abscisse est $5$ : $D(5\,;\,0)$ .
De la même façon, un point situé sur l’axe des ordonnées a nécessairement une abscisse nulle. Comme le point est à $2$ unités en dessous de l’origine, son ordonnée est $-2$ : $E(0\,;\,-2)$ .

Exercice 4 — ⭐⭐⭐

Un jeu vidéo utilise un repère orthogonal pour placer les objets sur une carte. Un personnage se déplace du point $P(-3\,;\,2)$ au point $Q(4\,;\,2)$ , en ligne droite horizontale, puis du point $Q$ au point $R(4\,;\,-5)$ , en ligne droite verticale.

Quelle est la distance parcourue entre $P$ et $Q$ (le long de l’axe horizontal) ?
Quelle est la distance parcourue entre $Q$ et $R$ (le long de l’axe vertical) ?
Quelle est la distance totale parcourue par le personnage sur ce trajet en deux étapes ?

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Comme $P$ et $Q$ ont la même ordonnée ( $2$ ), le déplacement entre les deux points est purement horizontal : sa longueur s’obtient comme une distance sur une droite graduée, en utilisant leurs abscisses. La plus grande abscisse est $4$ , la plus petite est $-3$ : $PQ = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7$ unités.
Comme $Q$ et $R$ ont la même abscisse ( $4$ ), le déplacement entre les deux points est purement vertical : sa longueur s’obtient de la même façon avec leurs ordonnées. La plus grande ordonnée est $2$ , la plus petite est $-5$ : $QR = 2 - (-5) = 2 + 5 = 7$ unités.
Le trajet complet est la somme des deux déplacements successifs, calculés aux questions précédentes : $7 + 7 = 14$ unités.