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Repérage sur une droite et dans le plan — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points.

Exercice 1 (4 points) — Placer et lire un nombre relatif sur une droite graduée

Sur une droite graduée de $1$ en $1$ , place les points d'abscisses $-6$ , $3$ , $-2$ et $5$ . (1 point)
Range ces quatre abscisses dans l'ordre croissant. (1 point)
Un point $B$ est situé $7$ graduations à droite de $0$ . Quelle est son abscisse ? (1 point)
Un point $C$ a pour abscisse $-3$ . Quelle est l'abscisse de son opposé ? (1 point)

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Sur une droite graduée, les abscisses positives se placent à droite de l'origine et les abscisses négatives à gauche. On place donc $-6$ à $6$ graduations à gauche de $0$ , $3$ à $3$ graduations à droite, $-2$ à $2$ graduations à gauche, et $5$ à $5$ graduations à droite.
L'ordre des abscisses correspond à l'ordre de leur position de gauche à droite sur la droite graduée : $-6 < -2 < 3 < 5$ .
Être situé « $7$ graduations à droite de $0$ » signifie avoir une abscisse positive de valeur $7$ : l'abscisse de $B$ est donc $7$ .
L'opposé d'un nombre relatif change son signe sans changer sa valeur : l'opposé de $-3$ est $3$ .

Exercice 2 (4 points) — Calculer une distance sur une droite graduée

Sur une droite graduée, on place les points $A$ d'abscisse $-8$ , $B$ d'abscisse $1$ et $C$ d'abscisse $6$ .

Calcule la distance $AB$ . (1 point)
Calcule la distance $BC$ . (1 point)
Calcule la distance $AC$ . (1 point)
Sans calcul, donne la distance à l'origine du point d'abscisse $8$ (l'opposé de l'abscisse de $A$ ), en utilisant une propriété du cours. (1 point)

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La distance entre deux points est la plus grande abscisse moins la plus petite. Entre $A(-8)$ et $B(1)$ , la plus grande abscisse est $1$ et la plus petite est $-8$ : $AB = 1 - (-8) = 9$ .
Entre $B(1)$ et $C(6)$ , la plus grande abscisse est $6$ et la plus petite est $1$ : $BC = 6 - 1 = 5$ .
Entre $A(-8)$ et $C(6)$ , la plus grande abscisse est $6$ et la plus petite est $-8$ : $AC = 6 - (-8) = 14$ .
L'opposé de $-8$ est $8$ . D'après la propriété du cours, deux points d'abscisses opposées sont à la même distance de l'origine : comme $A$ (abscisse $-8$ ) est à $8$ unités de l'origine, le point d'abscisse $8$ est lui aussi à $8$ unités de l'origine.

Exercice 3 (4 points) — Le repère orthogonal dans le plan

Dans un repère orthogonal, on considère les points $A(2\,;\,-3)$ , $B(-4\,;\,0)$ et $C(0\,;\,5)$ .

Sur quel axe se trouve le point $B$ ? Justifie. (1 point)
Sur quel axe se trouve le point $C$ ? Justifie. (1 point)
Donne les coordonnées d'un point $D$ situé sur l'axe des ordonnées, à $4$ unités au-dessus de l'origine. (1 point)
Donne les coordonnées d'un point $E$ situé sur l'axe des abscisses, à $6$ unités à gauche de l'origine. (1 point)

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Le point $B(-4\,;\,0)$ a une ordonnée nulle : d'après la propriété du cours, un point d'ordonnée nulle se trouve sur l'axe des abscisses.
Le point $C(0\,;\,5)$ a une abscisse nulle : d'après la propriété du cours, un point d'abscisse nulle se trouve sur l'axe des ordonnées.
Un point situé sur l'axe des ordonnées a une abscisse nulle. Comme le point est à $4$ unités au-dessus de l'origine, son ordonnée est $4$ : $D(0\,;\,4)$ .
Un point situé sur l'axe des abscisses a une ordonnée nulle. Comme le point est à $6$ unités à gauche de l'origine, son abscisse est $-6$ : $E(-6\,;\,0)$ .

Exercice 4 (4 points) — Distances dans un repère

Un robot se déplace du point $M(-6\,;\,1)$ au point $N(3\,;\,1)$ , en ligne droite horizontale, puis du point $N$ au point $P(3\,;\,-4)$ , en ligne droite verticale.

Calcule la distance parcourue entre $M$ et $N$ . (1 point)
Calcule la distance parcourue entre $N$ et $P$ . (1 point)
Calcule la distance totale parcourue par le robot sur ce trajet en deux étapes. (2 points)

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Comme $M$ et $N$ ont la même ordonnée ( $1$ ), le déplacement est purement horizontal : sa longueur s'obtient à partir des abscisses. La plus grande abscisse est $3$ , la plus petite est $-6$ : $MN = 3 - (-6) = 9$ .
Comme $N$ et $P$ ont la même abscisse ( $3$ ), le déplacement est purement vertical : sa longueur s'obtient à partir des ordonnées. La plus grande ordonnée est $1$ , la plus petite est $-4$ : $NP = 1 - (-4) = 5$ .
Le trajet complet est la somme des deux déplacements successifs : $9 + 5 = 14$ unités.

Exercice 5 (4 points) — Problème : la carte au trésor

Sur une carte au trésor munie d'un repère orthogonal, le point de départ $D$ a pour coordonnées $(-3\,;\,-2)$ et le trésor $T$ a pour coordonnées $(-3\,;\,6)$ .

Que remarques-tu sur les coordonnées de $D$ et de $T$ ? Qu'en déduis-tu sur la direction du trajet direct de $D$ à $T$ ? (1 point)
Calcule la distance à parcourir pour aller de $D$ à $T$ en ligne droite. (2 points)
Un point $S$ a pour abscisse l'opposée de celle de $D$ , et se trouve sur l'axe des abscisses. Donne les coordonnées de $S$ . (1 point)

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Les points $D(-3\,;\,-2)$ et $T(-3\,;\,6)$ ont la même abscisse ( $-3$ ) : le trajet direct de $D$ à $T$ est donc purement vertical (parallèle à l'axe des ordonnées).
Comme le déplacement est vertical, sa longueur s'obtient à partir des ordonnées. La plus grande ordonnée est $6$ , la plus petite est $-2$ : $DT = 6 - (-2) = 8$ .
L'opposée de l'abscisse de $D$ ( $-3$ ) est $3$ . Un point situé sur l'axe des abscisses a une ordonnée nulle. Les coordonnées de $S$ sont donc $S(3\,;\,0)$ .