Racine carrée — Exercices d'application

Par définition, $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ : pour calculer une racine carrée, on cherche donc quel nombre, multiplié par lui-même, redonne le nombre de départ.

1. On cherche un nombre dont le carré vaut $16$ : $4^2 = 16$, donc $\sqrt{16} = 4$.
2. On cherche un nombre dont le carré vaut $100$ : $10^2 = 100$, donc $\sqrt{100} = 10$.
3. Pour vérifier que $\sqrt{144} = 12$, il suffit de calculer $12^2$ et de vérifier qu’on retombe bien sur $144$ : $12^2 = 12 \times 12 = 144$. Le calcul confirme donc bien que $\sqrt{144} = 12$.

1. La longueur du côté d’un carré est la racine carrée de son aire, puisque $\text{aire} = \text{côté}^2$. Ici, $\sqrt{49} = 7\,\text{cm}$ (car $7^2 = 49$).
2. On calcule d’abord le côté à partir de l’aire : $\sqrt{121} = 11\,\text{cm}$ (car $11^2 = 121$). Le périmètre d’un carré valant quatre fois son côté : $4 \times 11 = 44\,\text{cm}$.
3. On calcule d’abord l’aire à partir du côté : $9^2 = 81\,\text{cm}^2$. En reprenant ensuite la racine carrée de cette aire, on doit retrouver le côté de départ : $\sqrt{81} = 9\,\text{cm}$, ce qui correspond bien au côté initial. Ce résultat illustre que la racine carrée et le carré sont deux opérations inverses l’une de l’autre.

Pour encadrer une racine carrée, on cherche les deux carrés parfaits consécutifs entre lesquels se situe le nombre sous la racine.

1. On identifie les carrés parfaits autour de $20$ : $16 = 4^2$ et $25 = 5^2$. Comme $16 < 20 < 25$, on en déduit que $4 < \sqrt{20} < 5$.
2. On identifie les carrés parfaits autour de $95$ : $81 = 9^2$ et $100 = 10^2$. Comme $81 < 95 < 100$, on en déduit que $9 < \sqrt{95} < 10$.
3. On identifie les carrés parfaits autour de $130$ : $121 = 11^2$ et $144 = 12^2$. Comme $121 < 130 < 144$, on en déduit que $11 < \sqrt{130} < 12$.

1. $49 = 7^2$ et $81 = 9^2$ sont des carrés parfaits : $\sqrt{49} = 7$ et $\sqrt{81} = 9$ ont donc une valeur exacte. En revanche, $55$ et $90$ ne figurent pas dans la liste des carrés parfaits (ils sont compris entre deux carrés parfaits consécutifs) : $\sqrt{55}$ et $\sqrt{90}$ n’ont pas de valeur exacte.
2. À la calculatrice : $\sqrt{55} \approx 7{,}42$ et $\sqrt{90} \approx 9{,}49$ (valeurs approchées, arrondies au centième).
3. En comparant les quatre valeurs (exactes ou approchées), on obtient l’ordre croissant : $\sqrt{49} = 7 < \sqrt{55} \approx 7{,}42 < \sqrt{81} = 9 < \sqrt{90} \approx 9{,}49$.

1. On identifie les carrés parfaits autour de $70$ : $64 = 8^2$ et $81 = 9^2$. Comme $64 < 70 < 81$, on en déduit que $8 < \sqrt{70} < 9$ — le côté idéal (non entier) se situerait donc entre $8\,\text{m}$ et $9\,\text{m}$.
2. On calcule les deux aires possibles avec des côtés entiers : pour $8\,\text{m}$, $8^2 = 64\,\text{m}^2$ ; pour $9\,\text{m}$, $9^2 = 81\,\text{m}^2$.
3. Pour déterminer laquelle de ces deux aires est la plus proche de l’objectif, on calcule l’écart à $70$ dans chaque cas : $70 - 64 = 6$ d’un côté, et $81 - 70 = 11$ de l’autre. Comme $6 < 11$, l’aire de $64\,\text{m}^2$ (obtenue avec un côté de $8\,\text{m}$) est la plus proche de l’objectif : le paysagiste doit donc choisir un côté de $8\,\text{m}$.
4. L’écart entre l’aire réellement obtenue ($64\,\text{m}^2$) et l’objectif visé ($70\,\text{m}^2$) est $70 - 64 = 6\,\text{m}^2$, en dessous de l’objectif.