4e⏱ 3 séances

Racine carrée

Ce que tu vas apprendre

Comprendre et connaître la définition de la racine carrée d'un nombre positif
Faire le lien entre racine carrée et aire d'un carré
Encadrer la racine carrée d'un entier par deux entiers consécutifs
Distinguer valeur exacte et valeur approchée d'une racine carrée

Notions clésracine carréecarré d'un nombreencadrementvaleur exacte, valeur approchée

1. Qu’est-ce que la racine carrée ?

Définition. La racine carrée d’un nombre positif $a$ , notée $\sqrt{a}$ , est le nombre positif dont le carré vaut $a$ . Autrement dit, $\sqrt{a} = b$ signifie que $b \geqslant 0$ et $b^2 = a$ .

Exemple. $\sqrt{25} = 5$ , car $5^2 = 25$ et $5$ est positif. $\sqrt{81} = 9$ , car $9^2 = 81$ .

Attention. La racine carrée d’un nombre n’est jamais négative, par définition. Il ne faut pas confondre $\sqrt{25} = 5$ avec l’équation $x^2 = 25$ , qui a deux solutions ( $5$ et $-5$ ).

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Racine carrée et aire d’un carré

Propriété. La racine carrée d’une aire donnée est la longueur du côté du carré ayant cette aire : si un carré a pour aire $A$ , la longueur de son côté est $\sqrt{A}$ .

Exemple. Un carré a une aire de $36\,\text{cm}^2$ . La longueur de son côté est $\sqrt{36} = 6\,\text{cm}$ , car $6^2 = 36$ .

Si l'aire d'un carré vaut

A

, la longueur de son côté vaut

\sqrt{A}

.

Méthode. Pour retrouver rapidement des racines carrées exactes, il est très utile de connaître par cœur les carrés des entiers de $0$ à $12$ : $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$ .

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Encadrer une racine carrée

Méthode. Lorsque le nombre sous la racine n’est pas un carré parfait, sa racine carrée n’est pas un nombre entier. On peut néanmoins l’encadrer entre deux entiers consécutifs.

📋 Méthode — Encadrer la racine carrée d'un entier

Chercher le plus grand carré parfait inférieur au nombre étudié.
Chercher le plus petit carré parfait supérieur au nombre étudié.
En déduire l’encadrement de la racine carrée par les racines de ces deux carrés parfaits, qui sont deux entiers consécutifs.

Exemple. Encadrons $\sqrt{50}$ . On sait que $49 = 7^2$ et $64 = 8^2$ . Comme $49 < 50 < 64$ , on en déduit $7 < \sqrt{50} < 8$ .

\sqrt{50}

se situe entre les racines des deux carrés parfaits voisins,

\sqrt{49} = 7

et

\sqrt{64} = 8

.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Valeur exacte ou valeur approchée ?

Définition. Quand le nombre sous la racine est un carré parfait, sa racine carrée est un entier : on peut alors donner sa valeur exacte (par exemple $\sqrt{81} = 9$ ). Dans les autres cas, la racine carrée n’est ni un entier ni une fraction simple : on utilise la calculatrice pour en donner une valeur approchée (arrondie), que l’on note avec le symbole $\approx$ .

📋 Méthode — Donner une valeur exacte ou une valeur approchée

Vérifier si le nombre sous la racine est un carré parfait (en le comparant à la liste des carrés de $0$ à $12$ , ou au-delà).
Si oui, donner directement la valeur exacte : c’est un nombre entier.
Si non, utiliser la touche $\sqrt{\ }$ de la calculatrice pour obtenir une valeur approchée, puis arrondir à la précision demandée (dixième, centième…), en utilisant le symbole $\approx$ .

Exemple. $\sqrt{81} = 9$ est une valeur exacte, car $81$ est un carré parfait. En revanche, $\sqrt{14}$ n’est pas un carré parfait : à la calculatrice, on trouve $\sqrt{14} \approx 3{,}74$ (valeur approchée, arrondie au centième).

Vocabulaire. La plupart des racines carrées qui ne sont pas des valeurs exactes, comme $\sqrt{2}$ , ne peuvent jamais s’écrire exactement ni sous forme décimale, ni sous forme de fraction : on les appelle des nombres irrationnels. Cette découverte, attribuée aux mathématiciens grecs de l’Antiquité, fut un véritable choc pour l’époque.

→ S’entraîner : Exercice 4