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4e⏱ 40 minutes

Racine carrée — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points.

Exercice 1 (4 points) — Qu'est-ce que la racine carrée ?

  1. Calcule 36\sqrt{36}. (1 point)
  2. Calcule 169\sqrt{169}. (1 point)
  3. Vérifie que 225=15\sqrt{225} = 15 en calculant 15215^2. (2 points)
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  1. On cherche un nombre dont le carré vaut 3636 : 62=366^2 = 36, donc 36=6\sqrt{36} = 6.
  2. On cherche un nombre dont le carré vaut 169169 : 132=16913^2 = 169, donc 169=13\sqrt{169} = 13.
  3. Pour vérifier que 225=15\sqrt{225} = 15, on calcule 152=15×15=22515^2 = 15 \times 15 = 225. Le calcul confirme bien que 225=15\sqrt{225} = 15.

Exercice 2 (4 points) — Racine carrée et aire d'un carré

  1. Un carré a une aire de 64 cm264\,\text{cm}^2. Calcule la longueur de son côté. (1 point)
  2. Un carré a une aire de 196 cm2196\,\text{cm}^2. Calcule son périmètre. (2 points)
  3. Un carré a un côté de 11 cm11\,\text{cm}. Calcule son aire, puis vérifie que la racine carrée de cette aire redonne bien la longueur du côté. (1 point)
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  1. La longueur du côté d'un carré est la racine carrée de son aire : 64=8 cm\sqrt{64} = 8\,\text{cm} (car 82=648^2 = 64).
  2. On calcule d'abord le côté à partir de l'aire : 196=14 cm\sqrt{196} = 14\,\text{cm} (car 142=19614^2 = 196). Le périmètre vaut quatre fois le côté : 4×14=56 cm4 \times 14 = 56\,\text{cm}.
  3. On calcule d'abord l'aire à partir du côté : 112=121 cm211^2 = 121\,\text{cm}^2. La racine carrée de cette aire redonne bien le côté de départ : 121=11 cm\sqrt{121} = 11\,\text{cm}.

Exercice 3 (4 points) — Encadrer une racine carrée

Encadre chacune des racines carrées suivantes par deux entiers consécutifs.

  1. 30\sqrt{30} (1 point)
  2. 60\sqrt{60} (1 point)
  3. 150\sqrt{150} (2 points)
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  1. On identifie les carrés parfaits autour de 3030 : 25=5225 = 5^2 et 36=6236 = 6^2. Comme 25<30<3625 < 30 < 36, on en déduit 5<30<65 < \sqrt{30} < 6.
  2. On identifie les carrés parfaits autour de 6060 : 49=7249 = 7^2 et 64=8264 = 8^2. Comme 49<60<6449 < 60 < 64, on en déduit 7<60<87 < \sqrt{60} < 8.
  3. On identifie les carrés parfaits autour de 150150 : 144=122144 = 12^2 et 169=132169 = 13^2. Comme 144<150<169144 < 150 < 169, on en déduit 12<150<1312 < \sqrt{150} < 13.

Exercice 4 (4 points) — Valeur exacte ou valeur approchée ?

On considère les quatre nombres 64\sqrt{64}, 75\sqrt{75}, 100\sqrt{100} et 110\sqrt{110}.

  1. Parmi ces quatre nombres, lesquels ont une valeur exacte ? (1 point)
  2. Pour ceux qui n'ont pas de valeur exacte, donne une valeur approchée au centième à l'aide de la calculatrice. (2 points)
  3. Range les quatre nombres dans l'ordre croissant. (1 point)
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  1. 64=8264 = 8^2 et 100=102100 = 10^2 sont des carrés parfaits : 64=8\sqrt{64} = 8 et 100=10\sqrt{100} = 10 ont donc une valeur exacte. 7575 et 110110 ne sont pas des carrés parfaits : 75\sqrt{75} et 110\sqrt{110} n'ont pas de valeur exacte.
  2. À la calculatrice : 75≈8,66\sqrt{75} \approx 8{,}66 et 110≈10,49\sqrt{110} \approx 10{,}49.
  3. Ordre croissant : 64=8<75≈8,66<100=10<110≈10,49\sqrt{64} = 8 < \sqrt{75} \approx 8{,}66 < \sqrt{100} = 10 < \sqrt{110} \approx 10{,}49.

Exercice 5 (4 points) — Problème

Une entreprise doit fabriquer un tapis carré dont l'aire doit être la plus proche possible de 45 m245\,\text{m}^2, mais dont le côté doit être un nombre entier de mètres.

  1. Encadre 45\sqrt{45} par deux entiers consécutifs. (1 point)
  2. Calcule l'aire d'un carré de 6 m6\,\text{m} de côté, puis celle d'un carré de 7 m7\,\text{m} de côté. (1 point)
  3. Quel côté l'entreprise doit-elle choisir pour se rapprocher le plus possible de 45 m245\,\text{m}^2 ? (1 point)
  4. Calcule l'écart entre l'aire obtenue avec ce choix et l'objectif de 45 m245\,\text{m}^2. (1 point)
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  1. On identifie les carrés parfaits autour de 4545 : 36=6236 = 6^2 et 49=7249 = 7^2. Comme 36<45<4936 < 45 < 49, on en déduit 6<45<76 < \sqrt{45} < 7.
  2. Pour 6 m6\,\text{m} de côté : 62=36 m26^2 = 36\,\text{m}^2. Pour 7 m7\,\text{m} de côté : 72=49 m27^2 = 49\,\text{m}^2.
  3. On compare les écarts à l'objectif : 45−36=945 - 36 = 9 d'un côté, et 49−45=449 - 45 = 4 de l'autre. Comme 4<94 < 9, l'aire de 49 m249\,\text{m}^2 (côté de 7 m7\,\text{m}) est la plus proche de l'objectif : l'entreprise doit choisir un côté de 7 m7\,\text{m}.
  4. L'écart entre l'aire obtenue (49 m249\,\text{m}^2) et l'objectif (45 m245\,\text{m}^2) est 49−45=4 m249 - 45 = 4\,\text{m}^2, au-dessus de l'objectif.