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4e

Pyramides et cônes de révolution — Exercices d'application

1. Reconnaître pyramide et cône de révolution

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Exercice 1 — ⭐

  1. Quelle est la forme de la base d’une pyramide à base hexagonale ?
  2. Un cône de révolution a-t-il des arêtes comme une pyramide ? Justifie.
  3. Nomme un objet de la vie courante en forme de cône de révolution.
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  1. Le nom d’une pyramide indique directement la forme de sa base : une pyramide « à base hexagonale » a donc une base en forme d’hexagone, c’est-à-dire un polygone à six côtés.
  2. Non. Une arête est le segment où se rejoignent deux faces planes. Or la surface latérale d’un cône de révolution est courbe et se referme progressivement sur le sommet, sans former de segment net comme le font les faces triangulaires planes d’une pyramide. Le cône ne possède donc pas d’arêtes au sens géométrique du terme.
  3. On peut citer par exemple un cornet de glace ou un chapeau pointu, deux objets dont la forme évoque directement un cône de révolution.

2. Le patron d’une pyramide et d’un cône

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Exercice 2 — ⭐⭐

  1. Une pyramide a une base pentagonale (un pentagone, donc 55 côtés). Combien de faces triangulaires et combien d’arêtes latérales compte son patron ?
  2. Dans le patron d’un cône de révolution, quel élément correspond à la base du cône ? Lequel correspond à sa surface latérale ?
  3. Une pyramide régulière a une base carrée et 44 faces latérales isocèles superposables. Si l’une de ces faces a une aire de 18 cm218\,\text{cm}^2, quelle est l’aire totale des 44 faces latérales du patron ?
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  1. Le nombre de faces triangulaires (et d’arêtes latérales) d’un patron de pyramide correspond exactement au nombre de côtés de sa base : une base pentagonale (55 côtés) donne donc un patron avec 55 faces triangulaires et 55 arêtes latérales.
  2. Le disque correspond à la base du cône ; le secteur de disque correspond à sa surface latérale, « déroulée » à plat.
  3. Puisque les 44 faces latérales d’une pyramide régulière sont superposables (donc de même aire), l’aire totale des 44 faces vaut 4×18=72 cm24 \times 18 = 72\,\text{cm}^2.

3. Le volume de la pyramide

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Exercice 3 — ⭐⭐

  1. Calcule le volume d’une pyramide de base rectangulaire 8 cm×5 cm8\,\text{cm} \times 5\,\text{cm} et de hauteur 12 cm12\,\text{cm}.
  2. Calcule le volume d’une pyramide de base carrée de 10 cm10\,\text{cm} de côté et de hauteur 15 cm15\,\text{cm}.
  3. Un prisme droit a la même base et la même hauteur qu’une pyramide de volume 60 cm360\,\text{cm}^3. Quel est le volume de ce prisme ?
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  1. On calcule d’abord l’aire de la base rectangulaire : 8×5=40 cm28 \times 5 = 40\,\text{cm}^2. On applique ensuite la formule du volume de la pyramide, V=B×h3V = \dfrac{B \times h}{3} : V=40×123=4803=160 cm3V = \dfrac{40 \times 12}{3} = \dfrac{480}{3} = 160\,\text{cm}^3.
  2. On calcule d’abord l’aire de la base carrée : 10×10=100 cm210 \times 10 = 100\,\text{cm}^2. On applique ensuite la même formule : V=100×153=1 5003=500 cm3V = \dfrac{100 \times 15}{3} = \dfrac{1\,500}{3} = 500\,\text{cm}^3.
  3. Le cours indique qu’une pyramide a toujours un volume trois fois plus petit qu’un prisme (ou pavé droit) de même base et de même hauteur, à cause du facteur 13\dfrac{1}{3} dans sa formule. Le prisme a donc un volume trois fois plus grand que la pyramide : 3×60=180 cm33 \times 60 = 180\,\text{cm}^3.

4. Le volume du cône de révolution

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Exercice 4 — ⭐⭐⭐

  1. Calcule le volume d’un cône de rayon 3 cm3\,\text{cm} et de hauteur 10 cm10\,\text{cm} (laisse le résultat en fonction de π\pi, puis arrondis au dixième avec π≈3,14\pi \approx 3{,}14).
  2. Calcule le volume d’un cône de rayon 5 cm5\,\text{cm} et de hauteur 6 cm6\,\text{cm}.
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  1. On applique la formule V=π×r2×h3V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3}, avec r=3r = 3 et h=10h = 10 : V=π×32×103=π×9×103=90π3=30π cm3V = \dfrac{\pi \times 3^2 \times 10}{3} = \dfrac{\pi \times 9 \times 10}{3} = \dfrac{90\pi}{3} = 30\pi\,\text{cm}^3. Pour obtenir une valeur numérique, on remplace π\pi par 3,143{,}14 : 30×3,14=94,2 cm330 \times 3{,}14 = 94{,}2\,\text{cm}^3.
  2. On applique la même formule avec r=5r = 5 et h=6h = 6 : V=π×52×63=π×25×63=150π3=50π cm3V = \dfrac{\pi \times 5^2 \times 6}{3} = \dfrac{\pi \times 25 \times 6}{3} = \dfrac{150\pi}{3} = 50\pi\,\text{cm}^3. En remplaçant π\pi par 3,143{,}14 : 50×3,14=157 cm350 \times 3{,}14 = 157\,\text{cm}^3.

Exercice 5 — ⭐⭐⭐⭐

Un chocolatier fabrique des mini-pyramides en chocolat, de base carrée de 4 cm4\,\text{cm} de côté et de hauteur 6 cm6\,\text{cm}, ainsi que des cônes en chocolat de rayon 3 cm3\,\text{cm} et de hauteur 8 cm8\,\text{cm} (on prendra π≈3,14\pi \approx 3{,}14).

  1. Calcule le volume d’une mini-pyramide.
  2. Calcule le volume d’un cône (arrondi au centième).
  3. Le chocolatier utilise 1 cm31\,\text{cm}^3 de chocolat pour 1,3 g1{,}3\,\text{g}. Calcule la masse de chocolat nécessaire pour une pyramide, arrondie au gramme.
  4. Pour un lot de 5050 pyramides et 3030 cônes, calcule la masse totale de chocolat nécessaire, arrondie au gramme.
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  1. Aire de la base carrée : 4×4=16 cm24 \times 4 = 16\,\text{cm}^2. On applique la formule du volume de la pyramide : V=16×63=963=32 cm3V = \dfrac{16 \times 6}{3} = \dfrac{96}{3} = 32\,\text{cm}^3.
  2. On applique la formule du volume du cône : V=3,14×32×83=3,14×9×83=226,083=75,36 cm3V = \dfrac{3{,}14 \times 3^2 \times 8}{3} = \dfrac{3{,}14 \times 9 \times 8}{3} = \dfrac{226{,}08}{3} = 75{,}36\,\text{cm}^3.
  3. Pour convertir un volume en masse, on multiplie par la masse d’un centimètre cube de chocolat : 32×1,3=41,6 g32 \times 1{,}3 = 41{,}6\,\text{g}, que l’on arrondit à 42 g42\,\text{g}.
  4. On calcule d’abord la masse d’un cône avec la même méthode : 75,36×1,3=97,968 g75{,}36 \times 1{,}3 = 97{,}968\,\text{g}, arrondi à 98 g98\,\text{g}. La masse totale pour le lot complet s’obtient en multipliant chaque masse unitaire par le nombre de pièces correspondant, puis en additionnant : 50×42+30×98=2 100+2 940=5 040 g50 \times 42 + 30 \times 98 = 2\,100 + 2\,940 = 5\,040\,\text{g}, soit environ 5,04 kg5{,}04\,\text{kg} de chocolat au total.