Pyramides et cônes de révolution

1. Reconnaître pyramide et cône de révolution

Définition. Une pyramide est un solide dont la base est un polygone, et dont toutes les faces latérales sont des triangles se rejoignant en un même point, le sommet. Un cône de révolution est un solide dont la base est un disque, et dont la surface latérale se referme en un point, le sommet.

Définition. La hauteur de ces solides est la distance entre le sommet et le plan de la base, mesurée perpendiculairement à ce plan. Pour une pyramide, chaque segment qui relie le sommet à un sommet de la base est une arête latérale ; une pyramide est dite régulière lorsque sa base est un polygone régulier et que ses faces latérales sont des triangles isocèles superposables.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Le patron d’une pyramide et d’un cône

Définition. Le patron d’un solide est sa représentation « à plat », obtenue en dépliant toutes ses faces : une fois découpé, plié et collé, un patron permet de reconstituer le solide en volume.

Exemple. Le patron d’une pyramide à base carrée est formé d’un carré (la base) et de quatre triangles (les faces latérales), chacun partageant un côté avec le carré. Le patron d’un cône de révolution est formé d’un disque (la base) et d’un secteur de disque (la surface latérale « déroulée »).

Attention. Le nombre de faces latérales d’un patron de pyramide dépend directement du nombre de côtés de sa base : une pyramide à base hexagonale a un patron formé d’un hexagone et de six triangles, un pour chaque côté.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Le volume de la pyramide

Propriété. Le volume d’une pyramide de base d’aire $B$ et de hauteur $h$ vaut $$V = \dfrac{B \times h}{3}$$

Exemple. Une pyramide a une base carrée de $6\,\text{cm}$ de côté (aire $B = 36\,\text{cm}^2$) et une hauteur de $9\,\text{cm}$. Son volume est $V = \dfrac{36 \times 9}{3} = \dfrac{324}{3} = 108\,\text{cm}^3$.

Astuce. Ce facteur $\dfrac{1}{3}$ signifie qu’une pyramide a un volume trois fois plus petit qu’un prisme (ou pavé droit) de même base et de même hauteur.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Le volume du cône de révolution

Propriété. Le volume d’un cône de révolution de rayon de base $r$ et de hauteur $h$ vaut $$V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3}$$ c’est-à-dire le tiers du volume d’un cylindre de même rayon et de même hauteur (l’aire de la base d’un disque de rayon $r$ étant $\pi \times r^2$).

Exemple. Un cône a un rayon de base de $4\,\text{cm}$ et une hauteur de $9\,\text{cm}$. Son volume est $V = \dfrac{\pi \times 4^2 \times 9}{3} = \dfrac{\pi \times 16 \times 9}{3} = \dfrac{144\pi}{3} = 48\pi \approx 150{,}8\,\text{cm}^3$.

Attention. Comme pour le cercle et le disque, les calculs avec $\pi$ peuvent être laissés sous forme exacte (avec le symbole $\pi$) ou donnés en valeur arrondie, selon ce que demande l’énoncé.

→ S’entraîner : Exercice 4