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4e⏱ 50 minutes

Pyramides et cônes de révolution — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points.

Exercice 1 (4 points) — Reconnaître pyramide et cône de révolution

  1. Cite les trois éléments de vocabulaire communs à la pyramide et au cône de révolution (autres que la base). (2 points)
  2. Qu'est-ce qu'une pyramide régulière ? (1 point)
  3. Comment appelle-t-on le segment qui relie le sommet d'une pyramide à un sommet de sa base ? (1 point)
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  1. Les trois éléments de vocabulaire communs à la pyramide et au cône de révolution sont le sommet (le point où se referme le solide), la hauteur (la distance entre le sommet et le plan de la base, mesurée perpendiculairement) et le patron (leur représentation à plat).
  2. Une pyramide est dite régulière lorsque sa base est un polygone régulier et que ses faces latérales sont des triangles isocèles superposables.
  3. Ce segment s'appelle une arête latérale.

Exercice 2 (4 points) — Le patron d'une pyramide et d'un cône

  1. Une pyramide a une base hexagonale (un hexagone, donc 66 côtés). Combien de faces triangulaires compte son patron ? (1 point)
  2. Dans le patron d'un cône de révolution, quel élément correspond à sa surface latérale ? (1 point)
  3. Une pyramide régulière a une base hexagonale et 66 faces latérales isocèles superposables. Si l'une de ces faces a une aire de 11,5 cm211{,}5\,\text{cm}^2, quelle est l'aire totale des 66 faces latérales du patron ? (2 points)
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  1. Le nombre de faces triangulaires du patron d'une pyramide correspond au nombre de côtés de sa base : une base hexagonale (66 côtés) donne donc un patron avec 66 faces triangulaires.
  2. Dans le patron d'un cône, la surface latérale correspond au secteur de disque (la base, elle, correspond au disque complet).
  3. Les 66 faces latérales d'une pyramide régulière étant superposables (même aire chacune), l'aire totale des 66 faces vaut 6×11,5=69 cm26 \times 11{,}5 = 69\,\text{cm}^2.

Exercice 3 (4 points) — Le volume de la pyramide

  1. Calcule le volume d'une pyramide de base rectangulaire 9 cm×6 cm9\,\text{cm} \times 6\,\text{cm} et de hauteur 10 cm10\,\text{cm}. (2 points)
  2. Une pyramide de base carrée de 12 cm12\,\text{cm} de côté a un volume de 96 cm396\,\text{cm}^3. Calcule sa hauteur. (2 points)
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  1. On calcule d'abord l'aire de la base rectangulaire : 9×6=54 cm29 \times 6 = 54\,\text{cm}^2. On applique ensuite la formule du volume, V=B×h3V = \dfrac{B \times h}{3} : V=54×103=5403=180 cm3V = \dfrac{54 \times 10}{3} = \dfrac{540}{3} = 180\,\text{cm}^3.
  2. On calcule d'abord l'aire de la base carrée : 12×12=144 cm212 \times 12 = 144\,\text{cm}^2. La formule V=B×h3V = \dfrac{B \times h}{3} donne 96=144×h396 = \dfrac{144 \times h}{3}, soit 96=48×h96 = 48 \times h (en simplifiant 144÷3=48144 \div 3 = 48). On isole hh en divisant par 4848 : h=9648=2 cmh = \dfrac{96}{48} = 2\,\text{cm}.

Exercice 4 (4 points) — Le volume du cône de révolution

  1. Calcule le volume d'un cône de rayon 6 cm6\,\text{cm} et de hauteur 5 cm5\,\text{cm} (en fonction de π\pi, puis arrondi au dixième avec π≈3,14\pi \approx 3{,}14). (2 points)
  2. Calcule le volume d'un cône de rayon 2 cm2\,\text{cm} et de hauteur 15 cm15\,\text{cm} (avec π≈3,14\pi \approx 3{,}14). (2 points)
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  1. On applique la formule V=π×r2×h3V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3}, avec r=6r = 6 et h=5h = 5 : V=π×62×53=π×36×53=180π3=60π cm3V = \dfrac{\pi \times 6^2 \times 5}{3} = \dfrac{\pi \times 36 \times 5}{3} = \dfrac{180\pi}{3} = 60\pi\,\text{cm}^3. En remplaçant π\pi par 3,143{,}14 : 60×3,14=188,4 cm360 \times 3{,}14 = 188{,}4\,\text{cm}^3.
  2. On applique la même formule avec r=2r = 2 et h=15h = 15 : V=π×22×153=π×4×153=60π3=20π cm3V = \dfrac{\pi \times 2^2 \times 15}{3} = \dfrac{\pi \times 4 \times 15}{3} = \dfrac{60\pi}{3} = 20\pi\,\text{cm}^3. En remplaçant π\pi par 3,143{,}14 : 20×3,14=62,8 cm320 \times 3{,}14 = 62{,}8\,\text{cm}^3.

Exercice 5 (4 points) — Comparer deux volumes

Une bougie est fabriquée en forme de pyramide à base carrée de 5 cm5\,\text{cm} de côté et de hauteur 12 cm12\,\text{cm}. Une autre bougie, de même volume, a la forme d'un cône de rayon 4 cm4\,\text{cm} (on prendra π≈3,14\pi \approx 3{,}14).

  1. Calcule le volume de la bougie pyramidale. (1 point)
  2. Sachant que les deux bougies ont le même volume, calcule la hauteur du cône (arrondie au dixième). (3 points)
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  1. Aire de la base carrée : 5×5=25 cm25 \times 5 = 25\,\text{cm}^2. On applique la formule du volume de la pyramide : V=25×123=3003=100 cm3V = \dfrac{25 \times 12}{3} = \dfrac{300}{3} = 100\,\text{cm}^3.
  2. Les deux bougies ayant le même volume, le cône a lui aussi un volume de 100 cm3100\,\text{cm}^3. On utilise la formule V=π×r2×h3V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3} avec r=4r = 4 et π≈3,14\pi \approx 3{,}14 : 100=3,14×16×h3100 = \dfrac{3{,}14 \times 16 \times h}{3}, soit 100=50,24×h3100 = \dfrac{50{,}24 \times h}{3}, donc 300=50,24×h300 = 50{,}24 \times h. On isole hh en divisant par 50,2450{,}24 : h=30050,24≈5,97h = \dfrac{300}{50{,}24} \approx 5{,}97, soit h≈6,0 cmh \approx 6{,}0\,\text{cm} arrondi au dixième.