Puissances d'un nombre — Exercices d'application

Une puissance $a^n$ représente le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$.

1. $3^4$ signifie « $3$ multiplié par lui-même $4$ fois » : $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$.
2. De même, $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$.
3. Ici, le nombre $2$ est répété $6$ fois en facteur : cela correspond exactement à $2^6$. En calculant : $2^6 = 64$.
4. $0^6 = 0$ (un produit de facteurs tous nuls reste nul), et $1^9 = 1$ (un produit de facteurs tous égaux à $1$ vaut toujours $1$).
5. $(-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16$ : le signe $-$ est répété $4$ fois, un nombre pair de facteurs négatifs donne un résultat positif. $-2^4 = -(2^4) = -16$ : ici, le signe $-$ n’est pas élevé à la puissance, seul le $2$ l’est, donc on prend l’opposé de $2^4$. Les deux résultats, $16$ et $-16$, ne sont pas égaux.

Lorsque deux puissances ont la même base, on additionne simplement leurs exposants : $a^n \times a^p = a^{n+p}$.

1. Les deux puissances ont la même base $4$ : on additionne les exposants, $3 + 5 = 8$. Donc $4^3 \times 4^5 = 4^8$.
2. Il faut d’abord remarquer que $7$ s’écrit aussi $7^1$ : on a donc $7^2 \times 7^1$, où l’on additionne les exposants $2 + 1 = 3$. Donc $7^2 \times 7 = 7^3$.
3. On additionne les exposants : $2 + 3 = 5$, donc $2^2 \times 2^3 = 2^5$. En calculant directement, $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$. Pour vérifier, on peut aussi calculer séparément $2^2 = 4$ et $2^3 = 8$, puis $4 \times 8 = 32$ : les deux méthodes donnent bien le même résultat. ✓

Lorsque deux puissances ont le même exposant mais des bases différentes, on multiplie les bases entre elles et l’on conserve l’exposant commun : $a^n \times b^n = (a \times b)^n$.

1. Les deux puissances ont le même exposant $4$ : on multiplie les bases, $3 \times 5 = 15$, et l’on garde l’exposant commun. Donc $3^4 \times 5^4 = 15^4$.
2. Même exposant $3$ pour les deux puissances : on multiplie les bases, $2 \times 5 = 10$, ce qui donne $2^3 \times 5^3 = 10^3$. On calcule ensuite cette puissance de $10$ : $10^3 = 1\,000$.
3. Même exposant $2$ pour les deux puissances : on multiplie les bases, $4 \times 25 = 100$, ce qui donne $4^2 \times 25^2 = 100^2 = 10\,000$.

Pour élever une puissance à une nouvelle puissance, on multiplie les exposants : $(a^n)^p = a^{n \times p}$.

1. On multiplie les exposants : $2 \times 3 = 6$. Donc $(5^2)^3 = 5^6$. En calculant, $5^6 = 15\,625$.
2. On multiplie les exposants : $4 \times 2 = 8$. Donc $(2^4)^2 = 2^8 = 256$. Vérification par étapes : $2^4 = 16$, puis $16^2 = 256$. Les deux méthodes donnent bien le même résultat. ✓
3. $(3^2)^3$ : on multiplie les exposants, $2 \times 3 = 6$, donc $(3^2)^3 = 3^6 = 729$. $3^2 \times 3^3$ : on additionne les exposants (produit de puissances de même base), $2 + 3 = 5$, donc $3^2 \times 3^3 = 3^5 = 243$. $729 \neq 243$ : ces deux écritures, qui se ressemblent, ne donnent pas la même valeur — il ne faut pas confondre « puissance d’une puissance » (on multiplie les exposants) et « produit de puissances de même base » (on additionne les exposants).

$10^n$ s’écrit $1$ suivi de $n$ zéros ; multiplier par $10^n$ revient à décaler la virgule de $n$ rangs vers la droite.

1. $10^4 = 10\,000$ ($1$ suivi de $4$ zéros). $10^6 = 1\,000\,000$ ($1$ suivi de $6$ zéros). $3 \times 10^2 = 300$ (la virgule de $3$, qui est à sa droite, décale de $2$ rangs). $4{,}25 \times 10^3 = 4\,250$ (la virgule décale de $3$ rangs vers la droite).
2. $3 \times 10^5 = 300\,000$ km/s.
3. La salle peut accueillir $2\,500$ personnes de plus que le stade, plus les $10^3 = 1\,000$ personnes supplémentaires annoncées : $2\,500 + 1\,000 = 3\,500$ personnes.

1. L’aire d’un carré de côté $c$ vaut $c \times c$, c’est-à-dire $c^2$. Ici, $4^2 = 16\,\text{cm}^2$.
2. Le volume d’un cube d’arête $c$ vaut $c \times c \times c$, c’est-à-dire $c^3$. Ici, $4^3 = 64\,\text{cm}^3$.
3. Le second cube a un volume de $8^3 = 512\,\text{cm}^3$. Pour comparer les deux volumes, on calcule le rapport entre eux : $512 \div 64 = 8$. Le volume n’a donc pas simplement doublé mais a été multiplié par $8$, et non par $2$. Cela s’explique par la nature même de la formule du volume : doubler l’arête d’un cube revient à multiplier chacune des trois dimensions par $2$, donc à multiplier le volume total par $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.

1. Chaque pliage multiplie l’épaisseur par $2$. Après $n$ pliages, l’épaisseur de départ a donc été multipliée $n$ fois par $2$, ce qui correspond à une multiplication par $2^n$. L’épaisseur après $n$ pliages s’exprime donc par $0{,}1 \times 2^n$ (en millimètres).
2. On remplace $n$ par $10$ dans l’expression trouvée : $2^{10} = 1\,024$, donc l’épaisseur est $0{,}1 \times 1\,024 = 102{,}4\,\text{mm}$.
3. Pour convertir des millimètres en mètres, on divise par $1\,000$ : $102{,}4 \div 1\,000 = 0{,}1024\,\text{m}$, soit environ $10\,\text{cm}$ — une épaisseur déjà surprenante pour seulement $10$ pliages d’une feuille aussi fine au départ.
4. Chaque heure, la population est multipliée par $3$. Après $h$ heures, la population initiale de $200$ bactéries a donc été multipliée $h$ fois par $3$, ce qui correspond à une multiplication par $3^h$ : la population s’exprime par $200 \times 3^h$. Après $4$ heures : $3^4 = 81$, donc la population est $200 \times 81 = 16\,200$ bactéries.