Puissances d'un nombre — Entraînement type évaluation

1. $2^7 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 128$.
2. $6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216$.
3. $0^{10} = 0$ (un produit de facteurs tous nuls reste nul), et $1^{15} = 1$ (un produit de facteurs tous égaux à $1$ vaut toujours $1$).
4. $(-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25$ : le signe $-$ est répété $2$ fois, un nombre pair de facteurs négatifs donne un résultat positif. $-5^2 = -(5^2) = -25$ : ici, seul le $5$ est élevé au carré, puis on prend l'opposé. Les deux résultats, $25$ et $-25$, ne sont pas égaux.

Pour multiplier deux puissances d'un même nombre, on additionne les exposants : $a^n \times a^p = a^{n+p}$.

1. Les deux puissances ont la même base $6$ : on additionne les exposants, $3 + 4 = 7$. Donc $6^3 \times 6^4 = 6^7$.
2. $9$ s'écrit aussi $9^1$ : on a donc $9^1 \times 9^5$, où l'on additionne les exposants $1 + 5 = 6$. Donc $9 \times 9^5 = 9^6$.
3. On additionne les exposants : $3 + 2 = 5$, donc $3^3 \times 3^2 = 3^5$. En calculant, $3^3 = 27$ et $3^2 = 9$, donc $27 \times 9 = 243$.
4. En calculant directement, $3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243$ : on retrouve bien le même résultat qu'à la question précédente. ✓

Pour multiplier deux puissances de même exposant mais de bases différentes, on multiplie les bases entre elles et l'on garde l'exposant commun : $a^n \times b^n = (a \times b)^n$.

1. Même exposant $5$ pour les deux puissances : on multiplie les bases, $2 \times 5 = 10$, donc $2^5 \times 5^5 = 10^5$.
2. Même exposant $3$ : on multiplie les bases, $4 \times 25 = 100$, donc $4^3 \times 25^3 = 100^3 = 1\,000\,000$.
3. Même exposant $2$ : on multiplie les bases, $3 \times 7 = 21$, donc $3^2 \times 7^2 = 21^2 = 441$.

Pour élever une puissance à une nouvelle puissance, on multiplie les exposants : $(a^n)^p = a^{n \times p}$.

1. On multiplie les exposants : $2 \times 3 = 6$. Donc $(7^2)^3 = 7^6 = 117\,649$.
2. On multiplie les exposants : $3 \times 2 = 6$. Donc $(3^3)^2 = 3^6 = 729$. Vérification par étapes : $3^3 = 27$, puis $27^2 = 729$ : les deux méthodes donnent bien le même résultat. ✓
3. $(2^2)^4$ : on multiplie les exposants, $2 \times 4 = 8$, donc $(2^2)^4 = 2^8 = 256$. $2^2 \times 2^4$ : on additionne les exposants (produit de puissances de même base), $2 + 4 = 6$, donc $2^2 \times 2^4 = 2^6 = 64$. $256 \neq 64$ : ces deux écritures ne donnent pas la même valeur — « puissance d'une puissance » (on multiplie les exposants) et « produit de puissances de même base » (on additionne les exposants) sont deux propriétés différentes qu'il ne faut pas confondre.

1. Un carton contient $10^2$ livres, et une palette contient $10$ cartons : le nombre de livres d'une palette est donc $10^2 \times 10 = 10^{2+1} = 10^3$ (produit de puissances de même base). En calculant, $10^3 = 1\,000$ livres.
2. $3 \times 10^4$ s'écrit sans puissance en décalant la virgule de $4$ rangs vers la droite : $3 \times 10^4 = 30\,000$.
3. Chaque heure, la population est multipliée par $5$. Après $h$ heures, la population initiale de $8$ bactéries a donc été multipliée $h$ fois par $5$, ce qui correspond à une multiplication par $5^h$ : la population s'exprime par $8 \times 5^h$.
4. On remplace $h$ par $3$ dans l'expression précédente : $5^3 = 125$, donc la population après $3$ heures est $8 \times 125 = 1\,000$ bactéries.