Puissances d'un nombre

1. La puissance d’exposant positif

Définition. La puissance $n$-ième d’un nombre $a$, notée $a^n$, est le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$ : $a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}$. Le nombre $a$ est appelé la base, et $n$ l’exposant.

Exemple. $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$. On lit « deux puissance cinq », ou « deux exposant cinq ».

Propriété. Par convention, $a^1 = a$ et $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$).

Autres cas particuliers. $0^n = 0$ pour tout entier $n \geqslant 1$ (un produit de plusieurs facteurs tous nuls reste nul), et $1^n = 1$ pour tout entier $n$ (un produit de facteurs tous égaux à $1$ vaut toujours $1$).

⚠️ Attention au signe. Les parenthèses changent tout le résultat. $(-3)^4$ signifie que c’est $-3$ qui est répété $4$ fois en facteur : $(-3)^4 = (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) = 81$ (un nombre pair de facteurs négatifs donne un résultat positif). En revanche, $-3^4$ signifie « l’opposé de $3^4$ » : $-3^4 = -(3^4) = -81$. Ces deux écritures, qui se ressemblent beaucoup, donnent donc des résultats opposés — il faut toujours vérifier si le signe $-$ est à l’intérieur ou à l’extérieur des parenthèses.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Multiplier des puissances de même base

Propriété. Pour multiplier deux puissances d’un même nombre, on additionne les exposants : $a^n \times a^p = a^{n+p}$.

Exemple. $3^2 \times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$. On peut vérifier : $3^2 \times 3^4 = 9 \times 81 = 729$, et $3^6 = 729$. ✓

Attention. Cette règle ne s’applique que si les deux puissances ont la même base. On ne peut pas simplifier directement $2^3 \times 5^3$ de cette façon.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Multiplier des puissances de même exposant

Propriété. Pour multiplier deux puissances de même exposant mais de bases différentes, on peut multiplier les bases entre elles et garder l’exposant commun : $a^n \times b^n = (a \times b)^n$.

Exemple. $2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 = 10^3 = 1\,000$. On peut vérifier : $2^3 \times 5^3 = 8 \times 125 = 1\,000$. ✓

Astuce. Cette propriété est particulièrement utile avec les puissances de $10$, très présentes en sciences pour exprimer de grands ou petits nombres.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Puissance d’une puissance

Propriété. Pour élever une puissance à une nouvelle puissance, on multiplie les exposants : $(a^n)^p = a^{n \times p}$.

Exemple. $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64$. On peut vérifier en calculant par étapes : $2^3 = 8$, puis $8^2 = 64$. ✓

⚠️ Attention à ne pas confondre avec la propriété de la section 2 : dans $a^n \times a^p$ (un produit de deux puissances), on additionne les exposants, alors que dans $(a^n)^p$ (une puissance elle-même élevée à une puissance), on multiplie les exposants. Par exemple, $(3^2)^3 = 3^{2\times3} = 3^6 = 729$, alors que $3^2 \times 3^3 = 3^{2+3} = 3^5 = 243$ : ce ne sont pas du tout les mêmes calculs, ni le même résultat.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Les puissances de 10

Propriété. Pour tout entier $n \geqslant 1$, $10^n$ s’écrit $1$ suivi de $n$ zéros.

Exemple. $10^5 = 100\,000$ ($1$ suivi de $5$ zéros), et $10^2 = 100$ ($1$ suivi de $2$ zéros).

Tu as déjà vu en 6e que multiplier un nombre décimal par $10$, $100$ ou $1\,000$ revient à décaler la virgule vers la droite (chapitre Multiplication des nombres décimaux). La notation en puissance permet d’écrire ce décalage de façon compacte : multiplier par $10^n$ revient à décaler la virgule de $n$ rangs vers la droite.

Exemple. $4{,}25 \times 10^3 = 4\,250$ (la virgule décale de $3$ rangs vers la droite, comme l’indique l’exposant).

Astuce. Les puissances de $10$ sont très utiles pour écrire de grands nombres sans recopier tous les zéros. En 3e, tu découvriras que l’exposant d’une puissance de $10$ peut aussi être négatif, pour écrire de très petits nombres.

→ S’entraîner : Exercice 5

6. Résoudre des problèmes avec des puissances

Exemple. Une culture de bactéries double de population toutes les heures, en partant de $50$ bactéries. Après $6$ heures, la population est $50 \times 2^6 = 50 \times 64 = 3\,200$ bactéries.

→ S’entraîner : Exercice 6