Rapports, ratios et pourcentages — Exercices d'application

Une grandeur quotient s’obtient en divisant une grandeur par une autre de nature différente.

1. La vitesse moyenne est le quotient de la distance parcourue par le temps mis pour la parcourir : $90 \div 3 = 30\,\text{km/h}$.
2. Le prix au kilogramme est le quotient du prix total par la masse achetée : $10 \div 4 = 2{,}50$ €/kg.

Le ratio $3\,{:}\,4$ signifie que le rapport entre le bleu et le jaune reste toujours le même, quelle que soit la quantité totale préparée : on peut donc utiliser une égalité de quotients et un produit en croix pour retrouver la quantité manquante.

1. On pose l’égalité de proportionnalité entre le bleu et le jaune : $\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{x}$, où $x$ représente la quantité de jaune cherchée. Par produit en croix : $x = \dfrac{9 \times 4}{3} = 12\,\text{L}$ de jaune.
2. On pose la même égalité, mais cette fois avec le jaune connu : $\dfrac{3}{4} = \dfrac{x}{10}$, où $x$ représente la quantité de bleu cherchée. Par produit en croix : $x = \dfrac{3 \times 10}{4} = 7{,}5\,\text{L}$ de bleu.

1. Pour une augmentation de $t\,\%$, le coefficient multiplicateur vaut $1 + \dfrac{t}{100}$. Ici, $1 + \dfrac{8}{100} = 1{,}08$. Le nouveau prix s’obtient en multipliant le prix de départ par ce coefficient : $45 \times 1{,}08 = 48{,}60$ €.
2. Pour une diminution de $t\,\%$, le coefficient multiplicateur vaut $1 - \dfrac{t}{100}$. Ici, $1 - \dfrac{25}{100} = 0{,}75$. Le nouveau prix est donc $120 \times 0{,}75 = 90$ €.
3. Le coefficient multiplicateur associé à un changement de prix s’obtient en divisant le prix final par le prix initial : $60 \div 50 = 1{,}2$. Ce coefficient s’écrit sous la forme $1 + \dfrac{t}{100}$ pour une augmentation : comme $1{,}2 = 1 + 0{,}2$, on en déduit que $\dfrac{t}{100} = 0{,}2$, soit une augmentation de $20\,\%$.

Dans chaque cas, on détermine d’abord le coefficient multiplicateur correspondant au pourcentage, puis on divise la valeur finale par ce coefficient pour retrouver la valeur de départ.

1. Le coefficient associé à une réduction de $30\,\%$ est $1 - \dfrac{30}{100} = 0{,}70$. Le prix avant réduction vérifie donc $\text{prix} \times 0{,}70 = 63$, d’où $\text{prix} = 63 \div 0{,}70 = 90$ €.
2. Le coefficient associé à une TVA de $20\,\%$ est $1 + \dfrac{20}{100} = 1{,}20$. Le prix HT vérifie $\text{HT} \times 1{,}20 = 144$, d’où $\text{HT} = 144 \div 1{,}20 = 120$ €.
3. Le coefficient associé à une augmentation de $15\,\%$ est $1 + \dfrac{15}{100} = 1{,}15$. La population de départ vérifie $\text{population} \times 1{,}15 = 4\,600$, d’où $\text{population} = 4\,600 \div 1{,}15 = 4\,000$ habitants.

1. Le nombre total de parts d’un ratio s’obtient en additionnant tous ses termes : $2 + 3 + 7 = 12$ parts au total.
2. La valeur d’une part s’obtient en divisant la somme totale à partager par ce nombre de parts : $84\,000 \div 12 = 7\,000$ €.
3. Chaque héritier reçoit autant de fois la valeur d’une part que l’indique son terme dans le ratio. Premier héritier ($2$ parts) : $2 \times 7\,000 = 14\,000$ €. Deuxième héritier ($3$ parts) : $3 \times 7\,000 = 21\,000$ €. Troisième héritier ($7$ parts) : $7 \times 7\,000 = 49\,000$ €.
4. On additionne les trois sommes obtenues pour vérifier qu’elles redonnent bien le montant total de l’héritage : $14\,000 + 21\,000 + 49\,000 = 84\,000$ €. ✓

1. Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de $20\,\%$ est $1 - 0{,}20 = 0{,}80$. Le prix après cette première baisse est donc $900 \times 0{,}80 = 720$ €.
2. La seconde baisse de $10\,\%$ s’applique cette fois sur le nouveau prix ($720$ €), et non sur le prix initial. Son coefficient est $1 - 0{,}10 = 0{,}90$. Le prix final est donc $720 \times 0{,}90 = 648$ €.
3. Pour vérifier l’affirmation du client, on calcule ce que donnerait une baisse unique de $30\,\%$ appliquée directement au prix de départ : $900 \times (1 - 0{,}30) = 900 \times 0{,}70 = 630$ €. En comparant ce résultat au prix réellement obtenu avec les deux baisses successives ($648$ €), on constate que $648 \neq 630$ : le client a donc tort. Deux baisses successives de $20\,\%$ puis $10\,\%$ ne reviennent pas au même qu’une baisse unique de $30\,\%$ ; en réalité, elles sont légèrement moins avantageuses pour l’acheteur.
4. Le coefficient global des deux baisses successives s’obtient en multipliant les deux coefficients trouvés séparément : $0{,}80 \times 0{,}90 = 0{,}72$. Ce coefficient correspond à une baisse de $1 - 0{,}72 = 0{,}28$, soit $28\,\%$ — un pourcentage de baisse globale légèrement inférieur aux $30\,\%$ que le client imaginait, ce qui confirme et explique l’écart observé à la question précédente.