Rapports, ratios et pourcentages

1. Les grandeurs quotients

Définition. Une grandeur quotient est une grandeur obtenue en divisant une grandeur par une autre, de nature différente. La vitesse (distance divisée par un temps) ou le prix au kilogramme (prix divisé par une masse) sont des grandeurs quotients.

Exemple. Une voiture parcourt $180\,\text{km}$ en $3\,\text{h}$. Sa vitesse moyenne est la grandeur quotient $180 \div 3 = 60\,\text{km/h}$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Rapports et ratios

Définition. Le rapport de deux grandeurs de même nature est le quotient de l’une par l’autre. Un ratio exprime cette même comparaison sous la forme d’un couple de nombres, comme « $2$ pour $3$ » (noté aussi $2\,{:}\,3$).

Exemple. Un jus de fruit est préparé avec un ratio de $2$ volumes de concentré pour $5$ volumes d’eau. Pour $8\,\text{L}$ de concentré, la quantité d’eau nécessaire $x$ vérifie $\dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{x}$, d’où $x = \dfrac{8 \times 5}{2} = 20\,\text{L}$ d’eau.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Pourcentages et coefficient multiplicateur

Définition. Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation ou une diminution en pourcentage permet de passer directement d’une valeur de départ à la valeur finale, en une seule multiplication.

Exemple. Un prix de $80$ € augmente de $15\,\%$. Coefficient multiplicateur : $1 + \dfrac{15}{100} = 1{,}15$. Nouveau prix : $80 \times 1{,}15 = 92$ €.

Astuce. Le coefficient multiplicateur permet aussi de retrouver rapidement le pourcentage appliqué : un coefficient de $0{,}80$ correspond à une diminution de $20\,\%$ (car $1 - 0{,}80 = 0{,}20$).

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Retrouver une valeur de départ

Le coefficient multiplicateur ne sert pas seulement à calculer une valeur finale : il permet aussi de faire le chemin inverse, quand on connaît la valeur finale et que l’on cherche la valeur de départ.

Exemple. Un prix TTC (toutes taxes comprises) de $96$ € inclut une taxe de $20\,\%$ ajoutée au prix HT (hors taxe). Le coefficient multiplicateur associé à cette augmentation de $20\,\%$ est $1 + \dfrac{20}{100} = 1{,}20$. Le prix HT vérifie donc $\text{HT} \times 1{,}20 = 96$, d’où $\text{HT} = 96 \div 1{,}20 = 80$ €.

Piège à éviter. Pour retrouver la valeur de départ après une baisse de $t\,\%$, on ne soustrait pas $t\,\%$ de la valeur finale : on divise par le coefficient $1 - \dfrac{t}{100}$ (une division, pas une soustraction de pourcentage).

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Résoudre un problème de partage proportionnel

Exemple. Une somme de $600$ € est partagée entre deux associés selon le ratio $2\,{:}\,3$. Nombre total de parts : $2 + 3 = 5$. Valeur d’une part : $600 \div 5 = 120$ €. Premier associé : $2 \times 120 = 240$ €. Second associé : $3 \times 120 = 360$ €.

→ S’entraîner : Exercice 5