4e

Probabilités : vocabulaire ensembliste et calculs — Exercices d'application

1. Vocabulaire des probabilités

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Exercice 1 — ⭐

On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes.

Quelle est l’expérience aléatoire ? Quelles sont les issues possibles (donne leur nombre) ?
Décris l’événement $A$ = « tirer un roi » en donnant le nombre d’issues qui le composent.

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L’expérience aléatoire est l’action dont le résultat dépend du hasard : ici, c’est le tirage d’une carte dans le jeu. Chaque carte du jeu constitue une issue possible : comme le jeu contient $32$ cartes, il y a donc $32$ issues possibles.
Un événement regroupe toutes les issues qui partagent une caractéristique commune. Ici, l’événement $A$ regroupe toutes les cartes qui sont des rois : comme un jeu de $32$ cartes contient un roi de chacune des quatre couleurs (cœur, carreau, trèfle, pique), l’événement $A$ est composé de $4$ issues.

2. Complémentaire, réunion, intersection

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Exercice 2 — ⭐⭐

On lance un dé à six faces. On définit $A$ = « obtenir un nombre pair » et $B$ = « obtenir un nombre strictement inférieur à $4$ ».

Liste les issues de $A$ , puis de $B$ .
Donne les issues de $A \cup B$ .
Donne les issues de $A \cap B$ .
Donne les issues du complémentaire de $A$ .

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Les nombres pairs entre $1$ et $6$ sont $2$ , $4$ et $6$ : $A = \{2, 4, 6\}$ . Les nombres strictement inférieurs à $4$ sont $1$ , $2$ et $3$ : $B = \{1, 2, 3\}$ .
La réunion $A \cup B$ regroupe toutes les issues qui appartiennent à $A$ ou à $B$ (ou aux deux), sans jamais répéter une issue déjà comptée : en réunissant les deux listes, on obtient $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$ .
L’intersection $A \cap B$ regroupe uniquement les issues qui appartiennent à la fois à $A$ et à $B$ . En comparant les deux listes, seule l’issue $2$ apparaît dans les deux : $A \cap B = \{2\}$ .
Le complémentaire de $A$ regroupe toutes les issues qui ne sont pas dans $A$ , c’est-à-dire tous les nombres impairs ici : $\overline{A} = \{1, 3, 5\}$ .

3. Calculer une probabilité et l’événement contraire

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Exercice 3 — ⭐⭐⭐

Une urne contient $5$ boules rouges, $3$ boules bleues et $2$ boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard.

Calcule la probabilité de tirer une boule rouge.
Calcule la probabilité de ne pas tirer une boule rouge, de deux façons différentes (directement, puis avec l’événement contraire).
Calcule la probabilité de tirer une boule bleue ou verte.

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L’urne contient $5 + 3 + 2 = 10$ boules au total. La probabilité d’un événement, en situation d’équiprobabilité, est le rapport entre le nombre d’issues favorables et le nombre total d’issues : $P(\text{rouge}) = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$ .
Directement : les boules qui ne sont pas rouges sont les boules bleues et vertes, soit $3 + 2 = 5$ boules sur $10$ : $P = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$ . Avec l’événement contraire : comme un événement et son contraire couvrent toujours toutes les issues sans en oublier ni en compter deux fois, on a $P(\overline{\text{rouge}}) = 1 - P(\text{rouge}) = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$ . Les deux méthodes donnent bien le même résultat, ce qui confirme le calcul. ✓
Les boules bleues et vertes représentent ensemble $3 + 2 = 5$ boules sur les $10$ de l’urne : $P(\text{bleue ou verte}) = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$ .

4. Expériences aléatoires à deux épreuves

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Exercice 4 — ⭐⭐⭐

On lance un dé à six faces, puis on lance une pièce équilibrée.

Combien d’issues possibles cette expérience à deux épreuves compte-t-elle au total ?
Calcule la probabilité d’obtenir un $6$ au dé, suivi de Pile à la pièce.
Calcule la probabilité d’obtenir un nombre pair au dé, quel que soit le résultat de la pièce.

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Pour une expérience à deux épreuves, le nombre total d’issues s’obtient en multipliant le nombre d’issues de chaque épreuve : le dé a $6$ issues et la pièce en a $2$ , donc $6 \times 2 = 12$ issues possibles au total pour l’expérience complète.
Parmi ces $12$ issues, une seule correspond exactement au résultat (6, Pile) : $P = \dfrac{1}{12}$ .
Les nombres pairs au dé sont $2$ , $4$ et $6$ , soit $3$ possibilités ; chacune de ces possibilités peut être associée à n’importe lequel des $2$ résultats de la pièce. Le nombre d’issues favorables est donc $3 \times 2 = 6$ sur les $12$ issues totales : $P = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$ .

Exercice 5 — ⭐⭐⭐⭐

Un jeu consiste à lancer deux dés équilibrés à six faces et à additionner les deux résultats obtenus.

Combien d’issues possibles cette expérience compte-t-elle au total (les deux dés étant distinguables) ?
Liste toutes les façons d’obtenir une somme égale à $7$ , puis calcule la probabilité de cet événement.
Calcule la probabilité d’obtenir une somme égale à $12$ .
Sans tout lister, explique pourquoi obtenir une somme de $7$ est plus probable qu’obtenir une somme de $12$ .

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Chaque dé a $6$ issues possibles, et les deux dés sont lancés indépendamment : le nombre total d’issues pour les deux dés combinés est $6 \times 6 = 36$ .
On cherche tous les couples de résultats (premier dé, second dé) dont la somme vaut $7$ : $(1,6)$ , $(2,5)$ , $(3,4)$ , $(4,3)$ , $(5,2)$ , $(6,1)$ . On compte $6$ couples différents qui conviennent, sur les $36$ issues possibles : $P(\text{somme} = 7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$ .
On cherche cette fois les couples dont la somme vaut $12$ : seul $(6,6)$ convient (il faut que les deux dés affichent chacun un $6$ ). Une seule issue favorable sur $36$ : $P(\text{somme} = 12) = \dfrac{1}{36}$ .
La probabilité d’un événement dépend directement du nombre d’issues qui le composent : plus il existe de couples de dés différents menant au même résultat, plus cet événement est probable. Or il existe $6$ façons différentes d’obtenir une somme de $7$ (comme listé à la question 2), contre une seule façon d’obtenir une somme de $12$ (les deux dés doivent obligatoirement afficher un $6$ chacun) : la somme $7$ est donc nettement plus probable que la somme $12$ , sans qu’il soit nécessaire de recalculer les probabilités exactes pour le voir.

5. L’arbre pondéré

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Exercice 6 — ⭐⭐⭐⭐

Une urne contient $2$ boules rouges et $3$ boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l’urne, puis on tire une seconde boule.

Construis l’arbre pondéré de cette expérience à deux épreuves, en indiquant la probabilité sur chaque branche.
Calcule la probabilité de tirer deux boules rouges.
Calcule la probabilité de tirer exactement une boule rouge (dans n’importe quel ordre).
Calcule la probabilité de ne tirer aucune boule rouge. En déduire, à l’aide de l’événement contraire, la probabilité de tirer au moins une boule rouge — puis vérifie ce résultat en additionnant directement les probabilités des chemins concernés.

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L’urne contient $2 + 3 = 5$ boules en tout, donc à chaque tirage $P(\text{rouge}) = \dfrac{2}{5}$ et $P(\text{verte}) = \dfrac{3}{5}$ . Comme la boule est remise dans l’urne avant le second tirage, ces probabilités restent les mêmes aux deux niveaux de l’arbre : à la racine, deux branches ( $\frac{2}{5}$ vers R, $\frac{3}{5}$ vers V) ; puis, à partir de chacun des deux nœuds obtenus, à nouveau deux branches ( $\frac{2}{5}$ vers R, $\frac{3}{5}$ vers V), menant à quatre feuilles : (R,R), (R,V), (V,R), (V,V).
En multipliant les probabilités le long du chemin (R,R) : $P(R,R) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{25}$ .
Tirer exactement une boule rouge correspond aux chemins (R,V) et (V,R) : $P(R,V) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{25} \qquad P(V,R) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{25}$ $P(\text{exactement une rouge}) = \dfrac{6}{25} + \dfrac{6}{25} = \dfrac{12}{25}$
Ne tirer aucune boule rouge correspond au chemin (V,V) : $P(\text{aucune rouge}) = P(V,V) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{25}$ . L’événement contraire de « aucune rouge » est « au moins une rouge », donc $P(\text{au moins une rouge}) = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$ . On peut vérifier ce résultat en additionnant les probabilités des chemins qui contiennent au moins un R : $P(R,R) + P(R,V) + P(V,R) = \dfrac{4}{25} + \dfrac{6}{25} + \dfrac{6}{25} = \dfrac{16}{25}$ . ✓