Probabilités : vocabulaire ensembliste et calculs

1. Vocabulaire des probabilités

Définition. Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard. Chaque résultat possible est une issue. Un événement est un ensemble d’issues qui partagent une même caractéristique.

Exemple. On lance un dé à six faces. L’expérience aléatoire est le lancer, les issues possibles sont $1, 2, 3, 4, 5, 6$. L’événement « obtenir un nombre pair » correspond aux issues $2, 4, 6$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Complémentaire, réunion, intersection

Définition. Le complémentaire d’un événement $A$, noté $\overline{A}$, regroupe toutes les issues qui ne sont pas dans $A$. La réunion de deux événements $A$ et $B$, notée $A \cup B$, regroupe les issues qui sont dans $A$ ou dans $B$ (ou les deux). L’intersection, notée $A \cap B$, regroupe les issues qui sont à la fois dans $A$ et dans $B$.

Exemple. On lance un dé. $A$ = « obtenir un nombre pair » = $\{2, 4, 6\}$, $B$ = « obtenir un nombre supérieur à $3$ » = $\{4, 5, 6\}$. Alors $A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$ et $A \cap B = \{4, 6\}$. Le complémentaire de $A$ est $\overline{A} = \{1, 3, 5\}$ (les nombres impairs).

Propriété. Si deux événements n’ont aucune issue en commun, leur intersection est l’ensemble vide, noté $\varnothing$ : c’est un événement impossible.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Calculer une probabilité et l’événement contraire

Propriété. Dans une situation d’équiprobabilité (toutes les issues ont la même chance de se produire), la probabilité d’un événement $A$ est $$P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}}$$

Propriété. La probabilité de l’événement contraire $\overline{A}$ se calcule $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$, car un événement et son contraire couvrent toujours toutes les issues possibles, sans en oublier ni en compter deux fois.

Exemple. On lance un dé équilibré. $P(\text{obtenir un } 6) = \dfrac{1}{6}$, donc $P(\text{ne pas obtenir un } 6) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$.

Propriété. Une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$ : $$0 \leqslant P(A) \leqslant 1$$ Un événement certain (qui se produit toujours) a pour probabilité $P = 1$. Un événement impossible (qui ne peut jamais se produire) a pour probabilité $P = 0$.

Exemple. On lance un dé à six faces. L’événement « obtenir un nombre entre $1$ et $6$ » est certain : sa probabilité est $1$. L’événement « obtenir un $7$ » est impossible : sa probabilité est $0$.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Expériences aléatoires à deux épreuves

Méthode. Lorsqu’une expérience aléatoire comporte deux épreuves successives (par exemple, lancer deux pièces), on peut lister systématiquement toutes les issues possibles, souvent à l’aide d’un tableau à double entrée ou d’un arbre.

Exemple. On lance deux pièces équilibrées. Les issues possibles sont : (Pile, Pile), (Pile, Face), (Face, Pile), (Face, Face) — soit $4$ issues équiprobables. La probabilité d’obtenir exactement une seule fois Pile est $\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ (les issues (Pile, Face) et (Face, Pile)).

Astuce. Répéter matériellement une expérience aléatoire de nombreuses fois permet d’observer que la fréquence d’un événement se rapproche progressivement de sa probabilité théorique : c’est ce que l’on appelle la stabilisation des fréquences.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. L’arbre pondéré

Méthode. Pour une expérience à deux épreuves (ou plus), on peut représenter toutes les issues à l’aide d’un arbre pondéré : chaque branche part d’un nœud et porte la probabilité de l’issue qu’elle représente. La probabilité d’un chemin complet (de la racine à une feuille) s’obtient en multipliant les probabilités le long des branches que l’on traverse.

Propriété. Sur un arbre pondéré : les probabilités des branches qui partent d’un même nœud ont toujours pour somme $1$ ; la probabilité d’atteindre une feuille est le produit des probabilités rencontrées le long du chemin ; la somme des probabilités de toutes les feuilles vaut $1$.

Exemple. Une urne contient $3$ boules rouges et $1$ boule bleue, indiscernables au toucher. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l’urne (tirage avec remise), puis on tire une seconde boule.

À chaque tirage, $P(\text{rouge}) = \dfrac{3}{4}$ et $P(\text{bleue}) = \dfrac{1}{4}$, car on remet la boule avant de retirer : les deux tirages sont indépendants et les probabilités ne changent pas d’un tirage à l’autre. En suivant chaque chemin de l’arbre : $$P(R,R) = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{16} \qquad P(R,B) = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{16}$$ $$P(B,R) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{16} \qquad P(B,B) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16}$$ On vérifie que la somme des quatre probabilités vaut bien $1$ : $\dfrac{9}{16} + \dfrac{3}{16} + \dfrac{3}{16} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{16}{16} = 1$. La probabilité de tirer exactement une boule bleue (dans n’importe quel ordre) est $P(R,B) + P(B,R) = \dfrac{3}{16} + \dfrac{3}{16} = \dfrac{3}{8}$.

→ S’entraîner : Exercice 6