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Probabilités : vocabulaire ensembliste et calculs — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points.

Exercice 1 (4 points) — Vocabulaire des probabilités

On tire une carte au hasard dans un jeu de $52$ cartes (sans joker).

Quelle est l'expérience aléatoire ? Combien y a-t-il d'issues possibles ? (1 point)
On considère l'événement $A$ = « tirer un as ». Combien d'issues sont favorables à $A$ ? (1 point)
Décris en une phrase l'événement complémentaire de $A$ . (1 point)
L'événement « tirer une carte rouge ou noire » est-il certain, impossible, ou ni l'un ni l'autre ? Et l'événement « tirer un joker » ? Justifie. (1 point)

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L'expérience aléatoire est le tirage d'une carte dans le jeu. Comme le jeu contient $52$ cartes (sans joker), chaque carte est une issue possible : il y a donc $52$ issues possibles.
Un jeu de $52$ cartes contient un as de chacune des quatre couleurs (cœur, carreau, trèfle, pique) : l'événement $A$ est donc composé de $4$ issues favorables.
Le complémentaire de $A$ regroupe toutes les cartes qui ne sont pas des as, c'est-à-dire toutes les cartes du jeu sauf les $4$ as.
Toute carte du jeu de $52$ cartes est soit rouge, soit noire : l'événement « tirer une carte rouge ou noire » regroupe donc toutes les issues possibles, il est certain (probabilité $1$ ). Comme il n'y a aucun joker dans ce jeu, l'événement « tirer un joker » ne correspond à aucune issue : il est impossible (probabilité $0$ ).

Exercice 2 (4 points) — Complémentaire, réunion, intersection

On lance un dé à $8$ faces, numérotées de $1$ à $8$ . On définit $A$ = « obtenir un multiple de $2$ » et $B$ = « obtenir un nombre supérieur ou égal à $5$ ».

Liste les issues de $A$ , puis de $B$ . (1 point)
Donne les issues de $A \cup B$ . (1 point)
Donne les issues de $A \cap B$ . (1 point)
Donne les issues du complémentaire de $B$ . (1 point)

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Les multiples de $2$ entre $1$ et $8$ sont $2$ , $4$ , $6$ et $8$ : $A = \{2, 4, 6, 8\}$ . Les nombres supérieurs ou égaux à $5$ sont $5$ , $6$ , $7$ et $8$ : $B = \{5, 6, 7, 8\}$ .
La réunion $A \cup B$ regroupe toutes les issues de $A$ ou de $B$ , sans répéter les issues communes : $A \cup B = \{2, 4, 5, 6, 7, 8\}$ .
L'intersection $A \cap B$ regroupe les issues communes aux deux listes : seuls $6$ et $8$ apparaissent dans $A$ et dans $B$ , donc $A \cap B = \{6, 8\}$ .
Le complémentaire de $B$ regroupe les issues qui ne sont pas dans $B$ , c'est-à-dire les nombres strictement inférieurs à $5$ : $\overline{B} = \{1, 2, 3, 4\}$ .

Exercice 3 (4 points) — Calculer une probabilité et l'événement contraire

Une urne contient $4$ boules jaunes, $3$ boules noires et $1$ boule blanche, indiscernables au toucher.

Calcule la probabilité de tirer une boule jaune. (1 point)
Calcule la probabilité de ne pas tirer une boule jaune, en utilisant l'événement contraire. (1 point)
Donne, sans calcul, la probabilité de tirer une boule d'une couleur présente dans l'urne, puis celle de tirer une boule rouge. Justifie chaque réponse en une phrase. (1 point)
Calcule la probabilité de tirer une boule noire ou blanche. (1 point)

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L'urne contient $4 + 3 + 1 = 8$ boules en tout. En situation d'équiprobabilité, $P(\text{jaune}) = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$ .
Un événement et son contraire couvrent toujours toutes les issues, sans en oublier ni en compter deux fois : $P(\overline{\text{jaune}}) = 1 - P(\text{jaune}) = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$ .
Tirer une boule d'une couleur présente dans l'urne est un événement certain (toutes les boules de l'urne ont nécessairement une des couleurs qu'elle contient) : sa probabilité est $1$ . Tirer une boule rouge est impossible, car l'urne ne contient aucune boule rouge : sa probabilité est $0$ .
Les boules noires et blanches représentent ensemble $3 + 1 = 4$ boules sur les $8$ de l'urne : $P(\text{noire ou blanche}) = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$ .

Exercice 4 (4 points) — Expérience à deux épreuves

On lance un dé à $4$ faces, numérotées de $1$ à $4$ , puis on lance une pièce équilibrée.

Combien d'issues possibles cette expérience à deux épreuves compte-t-elle au total ? (1 point)
Calcule la probabilité d'obtenir un $4$ au dé, suivi de Face à la pièce. (1 point)
Calcule la probabilité d'obtenir un nombre impair au dé, quel que soit le résultat de la pièce. (1 point)
Calcule la probabilité d'obtenir Pile à la pièce, quel que soit le résultat du dé. (1 point)

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Pour une expérience à deux épreuves, le nombre total d'issues s'obtient en multipliant le nombre d'issues de chaque épreuve : le dé a $4$ issues et la pièce en a $2$ , donc $4 \times 2 = 8$ issues possibles au total.
Parmi ces $8$ issues, une seule correspond exactement au résultat (4, Face) : $P = \dfrac{1}{8}$ .
Les nombres impairs au dé sont $1$ et $3$ , soit $2$ possibilités ; chacune peut être associée à n'importe lequel des $2$ résultats de la pièce, ce qui donne $2 \times 2 = 4$ issues favorables sur les $8$ issues totales : $P = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$ .
Le résultat Pile à la pièce peut être associé à n'importe lequel des $4$ résultats du dé, ce qui donne $4$ issues favorables sur les $8$ issues totales : $P = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$ .

Exercice 5 (4 points) — L'arbre pondéré

Une urne contient $1$ boule rouge et $4$ boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l'urne, puis on tire une seconde boule.

Construis l'arbre pondéré de cette expérience, en indiquant la probabilité sur chaque branche. (1 point)
Calcule la probabilité de tirer deux boules rouges. (1 point)
Calcule la probabilité de tirer exactement une boule verte (dans n'importe quel ordre). (1 point)
Calcule la probabilité de tirer au moins une boule rouge, en utilisant l'événement contraire. (1 point)

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L'urne contient $1 + 4 = 5$ boules en tout, donc à chaque tirage $P(\text{rouge}) = \dfrac{1}{5}$ et $P(\text{verte}) = \dfrac{4}{5}$ . Comme la boule est remise dans l'urne avant le second tirage, ces probabilités restent les mêmes aux deux niveaux de l'arbre : à la racine, deux branches ( $\frac{1}{5}$ vers R, $\frac{4}{5}$ vers V) ; puis, à partir de chacun des deux nœuds, à nouveau deux branches identiques, menant à quatre feuilles : (R,R), (R,V), (V,R), (V,V).
En multipliant les probabilités le long du chemin (R,R) : $P(R,R) = \dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{25}$ .
Tirer exactement une boule verte correspond aux chemins (R,V) et (V,R) : $P(R,V) = \dfrac{1}{5} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{4}{25} \qquad P(V,R) = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{25}$ $P(\text{exactement une verte}) = \dfrac{4}{25} + \dfrac{4}{25} = \dfrac{8}{25}$
L'événement contraire de « au moins une rouge » est « aucune rouge », c'est-à-dire le chemin (V,V) : $P(V,V) = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{16}{25}$ . Donc $P(\text{au moins une rouge}) = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}$ . On peut vérifier ce résultat en additionnant les chemins qui contiennent au moins un R : $P(R,R) + P(R,V) + P(V,R) = \dfrac{1}{25} + \dfrac{4}{25} + \dfrac{4}{25} = \dfrac{9}{25}$ . ✓