Multiplier et diviser des nombres relatifs — Exercices d'application

Dans chaque cas, on applique la règle des signes : on multiplie les valeurs absolues, puis on détermine le signe du résultat selon que les deux facteurs ont le même signe (résultat positif) ou des signes différents (résultat négatif).

1. $(-6)$ et $(-5)$ sont tous deux négatifs, donc de même signe : le résultat est positif. On multiplie les valeurs absolues : $6 \times 5 = 30$. Donc $(-6) \times (-5) = 30$.
2. $7$ est positif et $(-4)$ est négatif : les signes sont différents, le résultat est négatif. $7 \times 4 = 28$, donc $7 \times (-4) = -28$.
3. $(-9)$ est négatif et $3$ est positif : signes différents, résultat négatif. $9 \times 3 = 27$, donc $(-9) \times 3 = -27$.
4. $8$ et $6$ sont tous deux positifs, donc de même signe : le résultat est positif, $8 \times 6 = 48$.
5. $(-1) \times 12 = -12$ et $(-1) \times (-20) = 20$ : dans les deux cas, on obtient l’opposé du nombre de départ. Multiplier par $-1$ revient donc toujours à prendre l’opposé du nombre.

1. On compte le nombre de facteurs négatifs dans ce produit : $(-3)$, $(-4)$ et $(-2)$ sont tous négatifs, ce qui fait trois facteurs négatifs — un nombre impair. Le résultat est donc négatif. On calcule ensuite la valeur en multipliant deux facteurs à la fois : $(-3) \times (-4) = 12$ (même signe, positif), puis $12 \times (-2) = -24$ (signes différents, négatif). Le résultat, $-24$, est bien négatif, comme prévu.
2. Ici, les quatre facteurs $(-5)$, $(-2)$, $(-1)$ et $(-3)$ sont tous négatifs, ce qui fait quatre facteurs négatifs — un nombre pair. Le résultat est donc positif. En calculant : $(-5) \times (-2) = 10$, puis $10 \times (-1) = -10$, puis $-10 \times (-3) = 30$. Le résultat, $30$, est bien positif, comme prévu.
3. La règle générale est la suivante : dans un produit de plusieurs facteurs relatifs, le résultat est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair, et négatif si ce nombre est impair.

La division suit exactement la même règle des signes que la multiplication : on divise les valeurs absolues, et le résultat est positif si les deux nombres ont le même signe, négatif sinon.

1. $(-24)$ et $(-6)$ sont tous deux négatifs, même signe : résultat positif. $24 \div 6 = 4$, donc $(-24) \div (-6) = 4$.
2. $(-24)$ est négatif et $6$ est positif : signes différents, résultat négatif. $24 \div 6 = 4$, donc $(-24) \div 6 = -4$.
3. $24$ est positif et $(-6)$ est négatif : signes différents, résultat négatif. $24 \div 6 = 4$, donc $24 \div (-6) = -4$.
4. $(-18)$ et $(-3)$ sont tous deux négatifs, même signe : résultat positif. $18 \div 3 = 6$, donc $(-18) \div (-3) = 6$.

Dans chaque expression, on respecte les priorités opératoires habituelles : d’abord les parenthèses, puis les multiplications et divisions, et enfin les additions et soustractions.

1. Il n’y a pas de parenthèses à calculer en premier, mais deux produits à effectuer avant l’addition. $-4 \times 3 = -12$ (signes différents). $(-2) \times (-5) = 10$ (même signe). On additionne ensuite ces deux résultats : $B = -12 + 10 = -2$.
2. Ici, la parenthèse doit être calculée en priorité : $-6 + 2 = -4$. Il reste ensuite un simple produit : $C = (-4) \times (-3) = 12$ (même signe, positif).
3. On effectue d’abord la division et la multiplication, dans l’ordre où elles apparaissent : $20 \div (-4) = -5$ (signes différents), et $(-3) \times 2 = -6$ (signes différents). L’expression devient alors $D = -5 - (-6)$. Soustraire un nombre négatif revient à additionner son opposé : $D = -5 + 6 = 1$.
4. « Multiplie-le par $-2$ » se traduit par $-2n$, puis « Retire $5$ » se traduit par $-2n - 5$. Pour $n = -6$ : $-2 \times (-6) - 5 = 12 - 5 = 7$.

1. Chaque minute, l’altitude diminue de $3\,\text{m}$ : au bout de $t$ minutes, elle a donc diminué de $3 \times t$ mètres par rapport au départ ($0\,\text{m}$). L’altitude s’exprime donc par $-3 \times t$, soit $-3t$ (le signe négatif traduit le fait que le plongeur descend, donc que son altitude devient négative).
2. On remplace $t$ par $8$ dans l’expression trouvée : $-3 \times 8 = -24\,\text{m}$.
3. On cherche le plus petit nombre entier de minutes $t$ pour lequel l’altitude devient inférieure ou égale à $-40\,\text{m}$, c’est-à-dire tel que $-3t \leqslant -40$. On teste des valeurs successives : pour $t = 13$, $-3 \times 13 = -39$, ce qui est encore au-dessus de $-40$ (donc pas suffisamment profond). Pour $t = 14$, $-3 \times 14 = -42$, qui est bien inférieur ou égal à $-40$. C’est donc après $14$ minutes complètes que le plongeur atteint pour la première fois cette profondeur limite.
4. Le plongeur part de l’altitude atteinte à la question précédente, $-42\,\text{m}$, et remonte de $2\,\text{m}$ à chaque minute écoulée : après $x$ minutes de remontée, son altitude a donc augmenté de $2x$ par rapport à ce point de départ, ce qui donne l’expression $-42 + 2x$. Après $5$ minutes de remontée : $-42 + 2 \times 5 = -42 + 10 = -32\,\text{m}$.