4e⏱ 4 séances

Multiplier et diviser des nombres relatifs

Ce que tu vas apprendre

Multiplier deux nombres relatifs, y compris quand les deux sont négatifs
Connaître et justifier la règle des signes
Diviser deux nombres relatifs
Calculer un enchaînement d'opérations avec des nombres relatifs
Traduire un programme de calcul en une expression avec des relatifs

Notions clésrègle des signesproduit de deux relatifsquotient de deux relatifsenchaînement d'opérations

1. Multiplier deux nombres relatifs

Propriété — règle des signes. Pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie leurs valeurs absolues (les nombres « sans le signe »), puis on applique la règle suivante pour le signe du résultat :

le produit de deux nombres de même signe est positif ;
le produit de deux nombres de signes différents est négatif.

Exemple. $(-4) \times (-3) = 12$ (même signe, résultat positif) ; $(-4) \times 3 = -12$ (signes différents, résultat négatif) ; $4 \times (-3) = -12$ (signes différents, résultat négatif).

La règle des signes de la multiplication (et de la division) : deux signes identiques donnent +, deux signes différents donnent −.

Un cas particulier utile : multiplier par $-1$ . Multiplier un nombre par $-1$ donne toujours son opposé (le même nombre, avec le signe contraire).

Exemple. $(-1) \times 8 = -8$ et $(-1) \times (-15) = 15$ : dans les deux cas, on obtient l’opposé du nombre de départ. C’est d’ailleurs pour cette raison qu’on note souvent l’opposé d’un nombre $a$ par $-a$ , qui peut se lire « $(-1) \times a$ ».

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Comprendre la règle des signes

Méthode. La règle des signes n’est pas une convention arbitraire : elle découle de la distributivité. Pour comprendre pourquoi $(-4) \times (-3) = 12$ , on peut observer que $(-4) \times \big(3 + (-3)\big) = (-4) \times 0 = 0$ . Or $(-4) \times \big(3 + (-3)\big) = (-4) \times 3 + (-4) \times (-3) = -12 + (-4) \times (-3)$ . Pour que cette somme fasse $0$ , il faut que $(-4) \times (-3) = 12$ .

Astuce. Pour retenir rapidement la règle des signes dans un produit de plusieurs facteurs, on peut compter le nombre de facteurs négatifs : un nombre pair de facteurs négatifs donne un résultat positif, un nombre impair donne un résultat négatif.

Exemple. $(-2) \times (-3) \times (-5) = -30$ : trois facteurs négatifs (nombre impair), le résultat est négatif.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Diviser deux nombres relatifs

Propriété. La division de deux nombres relatifs suit exactement la même règle des signes que la multiplication : on divise les valeurs absolues, et le quotient est positif si les deux nombres ont le même signe, négatif s’ils ont des signes différents.

Exemple. $(-15) \div (-3) = 5$ (même signe, résultat positif) ; $(-15) \div 3 = -5$ (signes différents, résultat négatif).

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Enchaîner des opérations avec des nombres relatifs

Attention. Dans un enchaînement d’opérations, les priorités opératoires restent les mêmes qu’avec les nombres positifs : on effectue d’abord les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions, sauf indication contraire donnée par des parenthèses.

📋 Méthode — Calculer un enchaînement d'opérations avec des relatifs

Repérer les parenthèses et calculer en priorité ce qu’elles contiennent.
Effectuer ensuite les multiplications et les divisions, de gauche à droite.
Terminer par les additions et les soustractions, de gauche à droite.
Vérifier le signe de chaque résultat intermédiaire à l’aide de la règle des signes.

Exemple. Calculons $A = 5 - 3 \times (-2) + (-8) \div 4$ . On calcule d’abord les produits et quotients : $3 \times (-2) = -6$ et $(-8) \div 4 = -2$ . On obtient $A = 5 - (-6) + (-2) = 5 + 6 - 2 = 9$ .

Traduire un programme de calcul. On retrouve ici la méthode déjà vue pour traduire un programme de calcul en expression (chapitre « Règles de calcul » de 5e), appliquée cette fois à des nombres relatifs.

Exemple. Programme de calcul : Choisis un nombre. Multiplie-le par $-3$ . Ajoute $7$ . En appelant $n$ le nombre choisi, ce programme se traduit par l’expression $-3n + 7$ . Pour $n = -4$ : $-3 \times (-4) + 7 = 12 + 7 = 19$ .

→ S’entraîner : Exercice 4