Nombres rationnels : simplifier, multiplier et diviser des fractions — Exercices d'application

Pour simplifier une fraction, on cherche un nombre qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur, et l’on divise les deux par ce nombre.

1. On remarque que $4$ divise à la fois $12$ et $16$ : $\dfrac{12}{16} = \dfrac{12 \div 4}{16 \div 4} = \dfrac{3}{4}$. Comme $3$ et $4$ n’ont plus de diviseur commun, cette fraction est bien irréductible.
2. On remarque que $7$ divise à la fois $35$ et $49$ : $\dfrac{35}{49} = \dfrac{35 \div 7}{49 \div 7} = \dfrac{5}{7}$, une fraction irréductible.
3. On remarque que $15$ divise à la fois $45$ et $60$ : $\dfrac{45}{60} = \dfrac{45 \div 15}{60 \div 15} = \dfrac{3}{4}$, une fraction irréductible.

1. Un nombre rationnel est un quotient de deux entiers relatifs. Tout nombre entier peut s’écrire comme lui-même divisé par $1$ : $-3 = \dfrac{-3}{1}$.
2. Un nombre décimal se transforme en fraction en utilisant une puissance de $10$ comme dénominateur, selon le nombre de chiffres après la virgule : $2{,}5$ a un chiffre après la virgule, donc $2{,}5 = \dfrac{25}{10}$.
3. L’opposé d’une fraction $\dfrac{a}{b}$ est $-\dfrac{a}{b}$ : il suffit de changer le signe global de la fraction, sans toucher au numérateur ni au dénominateur pris séparément. L’opposé de $\dfrac{7}{9}$ est donc $-\dfrac{7}{9}$, et l’opposé de $-\dfrac{4}{5}$ (qui est déjà négatif) est son symétrique positif, $\dfrac{4}{5}$.

1. Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{3 \times 2}{5 \times 7} = \dfrac{6}{35}$.
2. Plutôt que de multiplier d’abord puis de simplifier un grand résultat, il est souvent plus rapide de repérer les simplifications possibles avant de multiplier : ici, $4$ et $8$ ont un facteur commun $4$ (donc $\dfrac{4}{8}$ se simplifierait en $\dfrac{1}{2}$), et $3$ et $9$ ont un facteur commun $3$ (donc $\dfrac{3}{9}$ se simplifierait en $\dfrac{1}{3}$). En réorganisant le produit selon ces simplifications croisées : $\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}$.
3. Calculer « la fraction d’une fraction » revient à multiplier les deux fractions entre elles : $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{2 \times 5}{3 \times 6} = \dfrac{10}{18}$. On simplifie ensuite ce résultat en divisant par leur diviseur commun $2$ : $\dfrac{10}{18} = \dfrac{5}{9}$.

1. L’inverse d’une fraction s’obtient en « retournant » le numérateur et le dénominateur : l’inverse de $\dfrac{5}{8}$ est $\dfrac{8}{5}$. Pour un nombre entier comme $6$, on l’écrit d’abord sous forme de fraction, $\dfrac{6}{1}$, avant de la retourner : son inverse est donc $\dfrac{1}{6}$.
2. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. L’inverse de $\dfrac{2}{3}$ est $\dfrac{3}{2}$, donc $\dfrac{4}{5} \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{12}{10}$, que l’on simplifie en divisant par $2$ pour obtenir $\dfrac{6}{5}$.
3. On applique le même principe : $3$ s’écrit $\dfrac{3}{1}$, dont l’inverse est $\dfrac{1}{3}$. Donc $\dfrac{7}{4} \div 3 = \dfrac{7}{4} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{12}$.

1. On prélève $\dfrac{2}{5}$ de la quantité d’eau présente, qui représente elle-même $\dfrac{5}{6}$ de la capacité totale. La fraction de la capacité totale prélevée s’obtient donc en multipliant ces deux fractions : $\dfrac{2}{5} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{30}$, que l’on simplifie en $\dfrac{1}{3}$ de la capacité totale.
2. Pour trouver ce qu’il reste, on soustrait la fraction prélevée de la fraction initiale présente dans la réserve. Comme les dénominateurs $6$ et $3$ sont différents, on les met au même dénominateur ($6$) avant de soustraire : $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6}$, que l’on simplifie en $\dfrac{1}{2}$ de la capacité totale.
3. La fraction prélevée de la capacité totale ($\dfrac{1}{3}$, trouvée à la question 1) s’applique directement à la capacité réelle de $1\,200\,\text{L}$ : $\dfrac{1}{3} \times 1\,200 = 400\,\text{L}$.
4. On applique la même méthode à la seconde réserve : $\dfrac{1}{3} \times 900 = 300\,\text{L}$. En comparant les deux quantités, $300 < 400$, ce transfert représente donc une quantité d’eau plus faible que le prélèvement calculé pour la première réserve.

1. Les deux fractions ont le même dénominateur $9$ : on additionne directement les numérateurs. $-\dfrac{5}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{-5+2}{9} = \dfrac{-3}{9}$, que l’on simplifie en $-\dfrac{1}{3}$.
2. Les dénominateurs $4$ et $3$ sont différents : on les réduit au même dénominateur $12$. $-\dfrac{1}{4} = -\dfrac{3}{12}$ et $\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}$. Donc $-\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3} = -\dfrac{3}{12} + \dfrac{8}{12} = \dfrac{5}{12}$.
3. On réduit au même dénominateur $10$ : $\dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10}$. Donc $\dfrac{3}{5} - \dfrac{9}{10} = \dfrac{6}{10} - \dfrac{9}{10} = -\dfrac{3}{10}$.
4. Soustraire $-\dfrac{5}{6}$ revient à ajouter $\dfrac{5}{6}$ : l’expression devient $-\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{6}$. On réduit au même dénominateur $6$ : $-\dfrac{2}{3} = -\dfrac{4}{6}$. Donc $-\dfrac{2}{3} - \left(-\dfrac{5}{6}\right) = -\dfrac{4}{6} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{6}$.