Nombres rationnels : simplifier, multiplier et diviser des fractions

1. Simplifier une fraction

Définition. Simplifier une fraction, c’est trouver une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits, en divisant les deux par un même nombre.

Exemple. Simplifions $\dfrac{18}{24}$. Le nombre $6$ divise $18$ et $24$ : $\dfrac{18}{24} = \dfrac{18 \div 6}{24 \div 6} = \dfrac{3}{4}$. Comme $3$ et $4$ n’ont plus de diviseur commun autre que $1$, la fraction $\dfrac{3}{4}$ est irréductible.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. La notion de nombre rationnel

Définition. Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire comme le quotient de deux nombres entiers relatifs (avec un dénominateur non nul). Les fractions, les nombres décimaux et les entiers sont tous des nombres rationnels.

Exemple. $\dfrac{5}{2}$, $-\dfrac{7}{3}$, $4{,}2$ (qui s’écrit $\dfrac{42}{10}$) et $-6$ (qui s’écrit $\dfrac{-6}{1}$) sont tous des nombres rationnels.

Propriété. L’opposé d’un nombre rationnel $\dfrac{a}{b}$ est $\dfrac{-a}{b}$, que l’on peut aussi écrire $-\dfrac{a}{b}$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Multiplier des fractions

Propriété. Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$.

Exemple. $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{7} = \dfrac{2 \times 5}{3 \times 7} = \dfrac{10}{21}$.

Méthode. Calculer la « fraction d’une fraction » revient exactement à multiplier ces deux fractions : $\dfrac{3}{4}$ de $\dfrac{2}{5}$ se calcule $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}$ après simplification.

Astuce. Il est souvent plus simple de simplifier avant de multiplier plutôt qu’après : dans $\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8}$, on peut simplifier le $4$ avec le $8$, et le $3$ avec le $9$, avant même de multiplier.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. L’inverse d’un nombre et la division de fractions

Définition. L’inverse d’un nombre $a$ non nul est le nombre $\dfrac{1}{a}$, tel que $a \times \dfrac{1}{a} = 1$. L’inverse d’une fraction $\dfrac{a}{b}$ (non nulle) est $\dfrac{b}{a}$ : on « retourne » la fraction.

Propriété. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$.

Exemple. $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{5}{7} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{7}{5} = \dfrac{21}{20}$.

Attention. L’inverse d’un nombre n’est pas la même chose que son opposé : l’inverse de $\dfrac{2}{3}$ est $\dfrac{3}{2}$, alors que son opposé est $-\dfrac{2}{3}$.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Additionner et soustraire des nombres rationnels

Propriété. Comme pour les fractions positives (voir 5e — Fractions), pour additionner ou soustraire deux nombres rationnels ayant le même dénominateur, on additionne ou soustrait leurs numérateurs en conservant ce dénominateur : $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a+c}{b}$. Si les dénominateurs sont différents, on commence par réduire les deux fractions au même dénominateur, exactement comme en 5e.

Exemple. $-\dfrac{5}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{-5+2}{9} = \dfrac{-3}{9} = -\dfrac{1}{3}$ après simplification.

Méthode — dénominateurs différents et signes différents. Lorsque les deux nombres rationnels n’ont pas le même dénominateur, on les réduit d’abord au même dénominateur, puis on applique la règle des signes des nombres relatifs (voir 4e — Multiplier et diviser des nombres relatifs) pour additionner les numérateurs obtenus.

Exemple. Calculons $-\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}$. Le plus petit dénominateur commun à $4$ et $6$ est $12$ : $-\dfrac{3}{4} = -\dfrac{9}{12}$ et $\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}$. Donc $-\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6} = -\dfrac{9}{12} + \dfrac{10}{12} = \dfrac{1}{12}$.

Attention. Soustraire un nombre rationnel revient à ajouter son opposé, exactement comme pour les nombres relatifs : $\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} + \left(-\dfrac{c}{d}\right)$.

Exemple. $\dfrac{2}{3} - \left(-\dfrac{5}{6}\right) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{4}{6} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}$.

→ S’entraîner : Exercice 6