Nombres rationnels : simplifier, multiplier et diviser des fractions — Entraînement type évaluation

Dans chaque cas, on cherche un nombre entier qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur, et l'on divise les deux par ce nombre (en recommençant si nécessaire).

1. $4$ divise $20$ et $24$ : $\dfrac{20}{24} = \dfrac{20 \div 4}{24 \div 4} = \dfrac{5}{6}$, une fraction irréductible.
2. $9$ divise $27$ et $36$ : $\dfrac{27}{36} = \dfrac{27 \div 9}{36 \div 9} = \dfrac{3}{4}$, une fraction irréductible.
3. $7$ divise $14$ et $21$ : $\dfrac{14}{21} = \dfrac{14 \div 7}{21 \div 7} = \dfrac{2}{3}$, une fraction irréductible.
4. $9$ divise $45$ et $54$ : $\dfrac{45}{54} = \dfrac{45 \div 9}{54 \div 9} = \dfrac{5}{6}$, une fraction irréductible.

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en simplifiant si possible avant ou après.

1. $\dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{5 \times 3}{6 \times 10} = \dfrac{15}{60}$, que l'on simplifie en divisant par $15$ pour obtenir $\dfrac{1}{4}$.
2. En simplifiant avant de multiplier ($7$ avec $21$, $4$ avec $8$) : $\dfrac{7}{8} \times \dfrac{4}{21} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$.
3. Calculer $\dfrac{2}{5}$ de $\dfrac{3}{4}$ revient à multiplier ces deux fractions : $\dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{20}$, que l'on simplifie en $\dfrac{3}{10}$.
4. $-\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{8}{9}$ sont de signes différents : le résultat est négatif. $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9} = \dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}$ (en simplifiant par $12$), donc $-\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9} = -\dfrac{2}{3}$.

1. L'inverse d'une fraction s'obtient en « retournant » numérateur et dénominateur : l'inverse de $\dfrac{7}{9}$ est $\dfrac{9}{7}$. Pour l'entier $8$, on l'écrit d'abord $\dfrac{8}{1}$ avant de le retourner : son inverse est $\dfrac{1}{8}$.
2. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. L'inverse de $\dfrac{2}{3}$ est $\dfrac{3}{2}$, donc $\dfrac{5}{6} \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{15}{12}$, que l'on simplifie en divisant par $3$ pour obtenir $\dfrac{5}{4}$.
3. On écrit $8$ sous la forme $\dfrac{8}{1}$, dont l'inverse est $\dfrac{1}{8}$. Donc $\dfrac{4}{7} \div 8 = \dfrac{4}{7} \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{4}{56}$, que l'on simplifie en divisant par $4$ pour obtenir $\dfrac{1}{14}$.
4. Diviser par $\dfrac{2}{3}$, c'est chercher combien de fois $\dfrac{2}{3}$ est contenu dans le nombre de départ. Comme $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{2} = 1$, multiplier par l'inverse $\dfrac{3}{2}$ produit exactement le même résultat que diviser par $\dfrac{2}{3}$ : c'est pour cela que « diviser par un nombre, c'est multiplier par son inverse ».

1. Les deux fractions ont le même dénominateur $10$ : on additionne directement les numérateurs. $-\dfrac{7}{10} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{-7+3}{10} = -\dfrac{4}{10}$, que l'on simplifie en $-\dfrac{2}{5}$.
2. On réduit au même dénominateur $8$ : $\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8}$. Donc $\dfrac{5}{8} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{8} - \dfrac{6}{8} = -\dfrac{1}{8}$.
3. Soustraire $-\dfrac{7}{10}$ revient à ajouter $\dfrac{7}{10}$ : l'expression devient $-\dfrac{3}{5} + \dfrac{7}{10}$. On réduit au même dénominateur $10$ : $-\dfrac{3}{5} = -\dfrac{6}{10}$. Donc $-\dfrac{3}{5} - \left(-\dfrac{7}{10}\right) = -\dfrac{6}{10} + \dfrac{7}{10} = \dfrac{1}{10}$.
4. On réduit les trois fractions au même dénominateur $12$ : $-\dfrac{1}{2} = -\dfrac{6}{12}$, $\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}$ et $\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{12}$. En calculant de gauche à droite : $-\dfrac{6}{12} + \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{12}$, puis $\dfrac{3}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{12}$.

1. Le potager et les fleurs occupent respectivement $\dfrac{3}{8}$ et $\dfrac{1}{4}$ du terrain. On réduit au même dénominateur $8$ : $\dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{8}$. La fraction totale utilisée est donc $\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{5}{8}$ du terrain.
2. La pelouse occupe le reste du terrain, c'est-à-dire $1 - \dfrac{5}{8} = \dfrac{8}{8} - \dfrac{5}{8} = \dfrac{3}{8}$ du terrain.
3. La fraction de la pelouse ($\dfrac{3}{8}$, trouvée à la question 2) s'applique à la surface totale de $480\,\text{m}^2$ : $\dfrac{3}{8} \times 480 = 180\,\text{m}^2$.
4. La moitié de la pelouse représente $\dfrac{3}{8} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{16}$ du terrain total, soit en surface $\dfrac{3}{16} \times 480 = 90\,\text{m}^2$ (ce qui correspond bien à la moitié des $180\,\text{m}^2$ trouvés à la question précédente).