Introduction aux fonctions : programmes de calcul — Exercices d'application

Pour appliquer un programme de calcul, on effectue chaque instruction dans l’ordre indiqué, en partant du nombre choisi.

1. On part de $5$ : on multiplie d’abord par $4$, ce qui donne $5 \times 4 = 20$, puis on soustrait $7$ : $20 - 7 = 13$.
2. On part de $-2$ : on multiplie par $4$, ce qui donne $-2 \times 4 = -8$, puis on soustrait $7$ : $-8 - 7 = -15$.
3. En remplaçant le nombre choisi par la lettre $x$, on suit exactement les mêmes étapes : on multiplie par $4$, ce qui donne $4x$, puis on soustrait $7$, ce qui donne l’expression générale $4x - 7$.

1. On part de $10$ : on enlève d’abord $3$, ce qui donne $10 - 3 = 7$, puis on multiplie par $2$ : $7 \times 2 = 14$.
2. Pour remonter, on parcourt le schéma dans l’autre sens en inversant chaque opération : la dernière opération du programme (multiplier par $2$) devient la première à inverser (diviser par $2$), et la première opération (enlever $3$) devient la dernière à inverser (ajouter $3$) : $$\text{résultat} \longrightarrow \boxed{\div\,2} \longrightarrow \boxed{+\,3} \longrightarrow x$$
3. On applique ce schéma inversé à $22$ : on divise d’abord par $2$, ce qui donne $22 \div 2 = 11$, puis on ajoute $3$ : $11 + 3 = 14$. Le nombre de départ était donc $14$.
4. On vérifie en appliquant le programme normal à $14$ : on enlève $3$, ce qui donne $14 - 3 = 11$, puis on multiplie par $2$ : $11 \times 2 = 22$. On retrouve bien le résultat annoncé. ✓

1. Pour remonter un programme de calcul, on inverse les opérations dans l’ordre inverse de celui du programme. La dernière opération effectuée ici étant la multiplication par $5$, c’est elle qu’il faut inverser en premier, en divisant par $5$.
2. On divise d’abord le résultat par $5$ : $40 \div 5 = 8$. On inverse ensuite la première opération du programme (l’ajout de $3$) en soustrayant $3$ : $8 - 3 = 5$. Le nombre de départ était donc $5$.
3. Pour vérifier, on applique le programme normalement au nombre trouvé : on ajoute $3$ à $5$, ce qui donne $8$, puis on multiplie par $5$ : $8 \times 5 = 40$. On retrouve bien le résultat annoncé. ✓

1. Le coût total se compose d’une partie fixe (les frais de déplacement, $35$ €) et d’une partie qui dépend du nombre d’heures ($28$ € par heure) : $C = 28h + 35$.
2. On remplace $h$ par $3$ dans la formule : $C = 28 \times 3 + 35 = 84 + 35 = 119$ €.
3. On repart de la formule avec $C = 175$, et l’on cherche $h$ : $175 = 28h + 35$. On soustrait $35$ des deux côtés pour isoler le terme en $h$ : $28h = 175 - 35 = 140$. On divise ensuite par $28$ : $h = 140 \div 28 = 5\,\text{h}$.

1. Le volume initial est $50\,\text{L}$, et chaque minute écoulée ajoute $20\,\text{L}$ de plus : après $t$ minutes, le volume ajouté est donc $20t$, ce qui donne au total $V = 20t + 50$.
2. On remplace successivement $t$ par $0$, $1$, $2$, $3$ et $4$ dans la formule pour obtenir chaque valeur de $V$ :

3. On place chaque couple $(t\,;\,V)$ comme un point dans le repère : $(0\,;\,50)$, $(1\,;\,70)$, $(2\,;\,90)$, $(3\,;\,110)$, $(4\,;\,130)$. En observant le tableau, le volume augmente toujours exactement de $20\,\text{L}$ d’une minute à l’autre : cette régularité se traduit graphiquement par des points parfaitement alignés, ce qui est une caractéristique générale des dépendances de la forme $V = at + b$.

1. Le coût de l’opérateur A ne dépend d’aucune variable puisqu’il facture toujours le même montant : $C_A = 15$, quelle que soit la consommation.
2. Le coût de l’opérateur B se compose d’une partie fixe ($8$ €) et d’une partie qui dépend du nombre de minutes supplémentaires ($0{,}10$ € par minute) : $C_B = 0{,}10m + 8$.
3. Les deux opérateurs coûtent le même prix lorsque $C_A = C_B$, soit $15 = 0{,}10m + 8$. On soustrait $8$ des deux côtés : $0{,}10m = 7$. On divise par $0{,}10$ : $m = 70$ minutes. C’est donc à partir de $70$ minutes d’appel supplémentaires que les deux offres coûtent exactement le même prix.
4. On calcule le coût de l’opérateur B pour $m = 50$ : $C_B = 0{,}10 \times 50 + 8 = 5 + 8 = 13$ €. En comparant ce montant au coût fixe de l’opérateur A ($15$ €), on constate que $13 < 15$ : l’opérateur B revient donc moins cher pour ce client, qui utilise moins de minutes supplémentaires que le seuil de $70$ minutes trouvé à la question précédente.