4e⏱ 50 minutes

Introduction aux fonctions : programmes de calcul — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points.

Exercice 1 (4 points) — Appliquer un programme de calcul

Programme de calcul : « Choisis un nombre. Retranche $2$ . Multiplie le résultat par $6$ . »

Applique ce programme au nombre $5$ . (1 point)
Applique ce programme au nombre $-3$ . (1 point)
Applique ce programme à un nombre quelconque $x$ , et donne l'expression obtenue sous forme développée. (2 points)

Voir le corrigé

On part de $5$ : on retranche d'abord $2$ , ce qui donne $5 - 2 = 3$ , puis on multiplie par $6$ : $3 \times 6 = 18$ .
On part de $-3$ : on retranche $2$ , ce qui donne $-3 - 2 = -5$ , puis on multiplie par $6$ : $-5 \times 6 = -30$ .
En remplaçant le nombre choisi par la lettre $x$ , on suit les mêmes étapes : on retranche $2$ , ce qui donne $x - 2$ , puis on multiplie par $6$ , ce qui donne $6(x - 2)$ . En développant : $6(x - 2) = 6x - 12$ .

Exercice 2 (4 points) — Représenter un programme de calcul par un schéma

On considère le programme de calcul représenté par le schéma : $x \longrightarrow \boxed{\times\,4} \longrightarrow \boxed{+\,7} \longrightarrow \text{résultat}$

Applique ce schéma au nombre $3$ . (1 point)
Dessine (ou décris) le schéma inversé qui permet de remonter ce programme. (1 point)
Utilise ce schéma inversé pour retrouver le nombre de départ lorsque le résultat est $31$ . (1 point)
Vérifie ta réponse en appliquant le programme normal au nombre trouvé. (1 point)

Voir le corrigé

On part de $3$ : on multiplie d'abord par $4$ , ce qui donne $3 \times 4 = 12$ , puis on ajoute $7$ : $12 + 7 = 19$ .
Pour remonter, on parcourt le schéma en sens inverse en inversant chaque opération : la dernière opération du programme (ajouter $7$ ) devient la première à inverser (soustraire $7$ ), et la première opération (multiplier par $4$ ) devient la dernière à inverser (diviser par $4$ ) : $\text{résultat} \longrightarrow \boxed{-\,7} \longrightarrow \boxed{\div\,4} \longrightarrow x$
On applique ce schéma inversé à $31$ : on soustrait d'abord $7$ , ce qui donne $31 - 7 = 24$ , puis on divise par $4$ : $24 \div 4 = 6$ . Le nombre de départ était donc $6$ .
On vérifie en appliquant le programme normal à $6$ : on multiplie par $4$ , ce qui donne $6 \times 4 = 24$ , puis on ajoute $7$ : $24 + 7 = 31$ . On retrouve bien le résultat annoncé. ✓

Exercice 3 (4 points) — Remonter un programme de calcul

Un programme de calcul est : « Choisis un nombre. Multiplie par $2$ . Ajoute $9$ . » Le résultat obtenu est $25$ .

Quelle opération faut-il d'abord inverser ? (1 point)
Retrouve le nombre de départ. (2 points)
Vérifie ta réponse en appliquant le programme normalement à ce nombre. (1 point)

Voir le corrigé

Pour remonter un programme de calcul, on inverse les opérations dans l'ordre inverse de celui du programme. La dernière opération effectuée ici étant l'ajout de $9$ , c'est elle qu'il faut inverser en premier, en soustrayant $9$ .
On soustrait d'abord $9$ au résultat : $25 - 9 = 16$ . On inverse ensuite la première opération du programme (la multiplication par $2$ ) en divisant par $2$ : $16 \div 2 = 8$ . Le nombre de départ était donc $8$ .
Pour vérifier, on applique le programme normalement au nombre trouvé : on multiplie $8$ par $2$ , ce qui donne $16$ , puis on ajoute $9$ : $16 + 9 = 25$ . On retrouve bien le résultat annoncé. ✓

Exercice 4 (4 points) — Produire une formule représentant une dépendance

Une entreprise de location de voiture facture $40$ € de frais fixes, plus $0{,}25$ € par kilomètre parcouru.

Exprime le coût total $C$ en fonction du nombre de kilomètres $d$ parcourus. (1 point)
Calcule le coût pour un trajet de $120\,\text{km}$ . (1 point)
Un trajet a coûté $92{,}50$ €. Retrouve le nombre de kilomètres parcourus (en remontant le calcul). (2 points)

Voir le corrigé

Le coût total se compose d'une partie fixe ( $40$ €) et d'une partie qui dépend du nombre de kilomètres ( $0{,}25$ € par km) : $C = 0{,}25d + 40$ .
On remplace $d$ par $120$ dans la formule : $C = 0{,}25 \times 120 + 40 = 30 + 40 = 70$ €.
On repart de la formule avec $C = 92{,}50$ , et l'on cherche $d$ : $92{,}50 = 0{,}25d + 40$ . On soustrait $40$ des deux côtés pour isoler le terme en $d$ : $0{,}25d = 92{,}50 - 40 = 52{,}50$ . On divise ensuite par $0{,}25$ : $d = 52{,}50 \div 0{,}25 = 210\,\text{km}$ .

Exercice 5 (4 points) — Représenter graphiquement une dépendance

Une bougie mesure initialement $20\,\text{cm}$ et se consume à raison de $2\,\text{cm}$ par heure.

Exprime la hauteur restante $H$ de la bougie, en centimètres, en fonction du temps écoulé $t$ , en heures. (1 point)
Construis un tableau de valeurs pour $t = 0, 1, 2, 3, 4$ . (1 point)
Décris comment tu placerais ces points dans un repère orthogonal, et indique si les points semblent alignés. (1 point)
Après combien d'heures la bougie sera-t-elle entièrement consumée ( $H = 0$ ) ? (1 point)

Voir le corrigé

La hauteur initiale est $20\,\text{cm}$ , et chaque heure écoulée retire $2\,\text{cm}$ : après $t$ heures, la hauteur retirée est donc $2t$ , ce qui donne au total $H = 20 - 2t$ .
On remplace successivement $t$ par $0$ , $1$ , $2$ , $3$ et $4$ dans la formule pour obtenir chaque valeur de $H$ :

$t$ (h)	0	1	2	3	4
$H$ (cm)	20	18	16	14	12

On place chaque couple $(t\,;\,H)$ comme un point dans le repère (axe horizontal pour $t$ , axe vertical pour $H$ ) : $(0\,;\,20)$ , $(1\,;\,18)$ , $(2\,;\,16)$ , $(3\,;\,14)$ , $(4\,;\,12)$ . La hauteur diminue toujours exactement de $2\,\text{cm}$ d'une heure à l'autre : cette régularité se traduit graphiquement par des points parfaitement alignés, comme pour toute dépendance de la forme $H = at + b$ .
La bougie est entièrement consumée lorsque $H = 0$ : $20 - 2t = 0$ , donc $2t = 20$ , soit $t = 20 \div 2 = 10\,\text{h}$ . La bougie se sera donc entièrement consumée au bout de $10$ heures.