Introduction aux fonctions : programmes de calcul

1. Appliquer un programme de calcul

Définition. Un programme de calcul est une suite d’instructions à effectuer, dans l’ordre, à partir d’un nombre de départ.

Exemple. Programme de calcul : « Choisis un nombre. Ajoute $5$. Multiplie le résultat par $3$. » Appliqué au nombre $2$ : on ajoute $5$, ce qui donne $7$ ; on multiplie par $3$, ce qui donne $21$.

Méthode. Pour appliquer ce même programme à une variable $x$ plutôt qu’à un nombre précis, on suit les mêmes étapes en gardant la lettre $x$ : on obtient l’expression $3(x + 5)$, qui peut ensuite être développée en $3x + 15$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Représenter un programme de calcul par un schéma

Méthode. Un programme de calcul peut aussi se représenter par un schéma : chaque étape est une case contenant une opération, reliée par des flèches qui indiquent l’ordre dans lequel elles s’enchaînent, du nombre de départ jusqu’au résultat.

Exemple. Le programme « Choisis un nombre. Ajoute $5$. Multiplie le résultat par $3$. » se représente par le schéma : $$x \longrightarrow \boxed{+\,5} \longrightarrow \boxed{\times\,3} \longrightarrow \text{résultat}$$ Appliqué à $x = 2$ : on entre $2$ dans la première case, ce qui donne $7$ ; on entre $7$ dans la case suivante, ce qui donne $21$.

Propriété. Pour remonter le programme (retrouver le nombre de départ à partir du résultat), on parcourt le schéma en sens inverse, en remplaçant chaque opération par son opération inverse — cette méthode est détaillée dans la section suivante.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Remonter un programme de calcul

Méthode. Pour retrouver le nombre de départ à partir d’un résultat obtenu par un programme de calcul, on effectue les opérations inverses, dans l’ordre inverse de celui du programme — comme sur le schéma inversé de la section précédente.

Exemple. Avec le programme « ajoute $5$, puis multiplie par $3$ », si le résultat final est $21$, on remonte : on divise d’abord par $3$ ($21 \div 3 = 7$), puis on soustrait $5$ ($7 - 5 = 2$). Le nombre de départ était bien $2$.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Produire une formule représentant une dépendance

Définition. Lorsqu’une grandeur dépend d’une autre, on dit qu’elle est fonction de cette autre grandeur. On peut représenter cette dépendance par une formule littérale.

Exemple. Le prix à payer $P$ (en euros) pour louer un vélo dépend du nombre d’heures $t$ de location, avec un tarif de $2$ € par heure plus $3$ € de frais fixes. La formule est $P = 2t + 3$.

Méthode. Une même dépendance peut se représenter de trois façons complémentaires : par une formule, par un tableau de valeurs, ou par un graphique.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Représenter graphiquement une dépendance

Exemple. Pour la formule $P = 2t + 3$, le tableau de valeurs pour $t = 0, 1, 2, 3$ donne $P = 3, 5, 7, 9$. On place les points $(0\,;\,3)$, $(1\,;\,5)$, $(2\,;\,7)$, $(3\,;\,9)$ dans un repère, et on peut les relier par une droite si la location est possible pour n’importe quelle durée.

→ S’entraîner : Exercice 5