Résoudre une équation du premier degré — Exercices d'application

Pour vérifier si une valeur est solution d’une équation, on la substitue à la place de l’inconnue et l’on regarde si l’égalité obtenue est vraie.

1. En remplaçant $x$ par $4$ : $2 \times 4 + 3 = 8 + 3 = 11$. L’égalité est vérifiée, donc $x = 4$ est bien solution de cette équation.
2. En remplaçant $x$ par $5$ : $3 \times 5 - 2 = 15 - 2 = 13$. Or l’équation demande que le résultat soit égal à $12$, ce qui n’est pas le cas ($13 \neq 12$) : $x = 5$ n’est donc pas solution.
3. On teste chaque valeur séparément. Pour $x = 2$ : $4 \times 2 - 5 = 8 - 5 = 3$, ce qui n’est pas égal à $19$. Pour $x = 6$ : $4 \times 6 - 5 = 24 - 5 = 19$, ce qui est bien égal à $19$. C’est donc $x = 6$ qui est solution de cette équation, et non $x = 2$.

Pour résoudre ce type d’équation, on isole d’abord le terme en $x$ en appliquant la même opération aux deux côtés de l’égalité, puis on divise par le coefficient de $x$.

1. On soustrait $5$ des deux côtés pour isoler le terme en $x$ : $2x = 17 - 5 = 12$. On divise ensuite par $2$ : $x = 12 \div 2 = 6$.
2. On ajoute $3$ des deux côtés : $4x = 21 + 3 = 24$. On divise ensuite par $4$ : $x = 24 \div 4 = 6$.
3. On soustrait $8$ des deux côtés : $-3x = 2 - 8 = -6$. On divise ensuite par $-3$ (attention, un nombre négatif) : $x = -6 \div (-3) = 2$.

Lorsque l’inconnue apparaît des deux côtés de l’égalité, on commence par regrouper tous les termes en $x$ d’un même côté, en soustrayant le terme en $x$ le plus petit des deux côtés.

1. On soustrait $2x$ des deux côtés pour regrouper les termes en $x$ à gauche : $4x - 2x + 3 = 15$, soit $2x + 3 = 15$. On soustrait ensuite $3$ : $2x = 12$. On divise par $2$ : $x = 6$.
2. On soustrait $3x$ des deux côtés : $6x - 3x - 5 = 10$, soit $3x - 5 = 10$. On ajoute $5$ : $3x = 15$. On divise par $3$ : $x = 5$.
3. Ici, le terme en $x$ le plus grand ($5x$) est à droite ; on soustrait donc $2x$ des deux côtés pour éviter un coefficient négatif : $9 = 5x - 2x - 6$, soit $9 = 3x - 6$. On ajoute $6$ des deux côtés : $15 = 3x$. On divise par $3$ : $x = 5$.

Dans chaque cas, on commence par développer le membre contenant des parenthèses, puis on résout l’équation obtenue comme au paragraphe précédent.

1. On développe : $2(x - 3) = 2x - 6$, l’équation devient $2x - 6 = x + 1$. On soustrait $x$ des deux côtés : $x - 6 = 1$. On ajoute $6$ : $x = 7$.
2. On développe : $5(x + 2) = 5x + 10$, l’équation devient $5x + 10 = 3x + 18$. On soustrait $3x$ : $2x + 10 = 18$. On soustrait $10$ : $2x = 8$. On divise par $2$ : $x = 4$.
3. On développe : $4(2 - x) = 8 - 4x$, l’équation devient $8 - 4x = 2x + 2$. On soustrait $2x$ des deux côtés : $8 - 6x = 2$. On soustrait $8$ : $-6x = -6$. On divise par $-6$ : $x = 1$.
4. On développe en faisant attention au signe : $-2(x - 4) = -2x + 8$, l’équation devient $-2x + 8 + 3 = 5$, soit $-2x + 11 = 5$. On soustrait $11$ : $-2x = -6$. On divise par $-2$ : $x = 3$.

1. Deux nombres consécutifs se suivent directement dans la liste des entiers : si le plus petit est $x$, le suivant est donc $x + 1$.
2. La somme des deux nombres doit valoir $47$ : on traduit cette phrase directement en équation, $x + (x + 1) = 47$.
3. On réduit d’abord le membre de gauche : $x + (x + 1) = 2x + 1$. L’équation devient $2x + 1 = 47$. On soustrait $1$ des deux côtés : $2x = 46$. On divise par $2$ : $x = 23$. Le plus petit nombre est donc $23$, et le second (consécutif) est $23 + 1 = 24$.

1. La salle A facture $6$ € par entrée, sans frais fixe : pour $x$ entrées, le coût total est donc $6x$.
2. La salle B facture $20$ € d’abonnement fixe, plus $3$ € par entrée : pour $x$ entrées, le coût total est donc $20 + 3x$.
3. Les deux salles reviennent au même prix lorsque leurs coûts sont égaux : on pose donc l’équation $6x = 20 + 3x$. On soustrait $3x$ des deux côtés pour regrouper les termes en $x$ : $6x - 3x = 20$, soit $3x = 20$. On divise par $3$ : $x = \dfrac{20}{3} \approx 6{,}67$. Ce résultat n’étant pas un nombre entier d’entrées, les deux salles ne coûtent jamais exactement le même prix pour un nombre entier d’entrées ; il faut alors comparer directement les coûts autour de cette valeur pour savoir laquelle est la plus avantageuse selon les cas.
4. On calcule le coût de chaque salle pour $x = 15$ : salle A, $6 \times 15 = 90$ € ; salle B, $20 + 3 \times 15 = 20 + 45 = 65$ €. En comparant ces deux coûts, $65 < 90$, la salle B revient donc moins chère pour ce client.