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Résoudre une équation du premier degré

Ce que tu vas apprendre

Comprendre ce qu'est une équation et ce que signifie la résoudre
Résoudre une équation du type ax + b = c
Résoudre une équation du type ax + b = cx + d
Résoudre une équation contenant des parenthèses
Mettre un problème concret en équation et le résoudre

Notions cléséquation, inconnue, solutionopérations inversesdévelopper avant de résoudremise en équation

1. Qu’est-ce qu’une équation ?

Définition. Une équation est une égalité contenant une inconnue, notée généralement $x$ . Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue pour lesquelles l’égalité est vraie : ces valeurs sont les solutions de l’équation.

Exemple. L’équation $x + 3 = 8$ a pour solution $x = 5$ , car $5 + 3 = 8$ est vrai.

Propriété. On peut vérifier qu’un nombre est solution d’une équation en le remplaçant à la place de l’inconnue : si l’égalité obtenue est vraie, c’est bien une solution.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Résoudre une équation du type $ax + b = c$

📋 Méthode — Résoudre une équation ax + b = c

Isoler le terme contenant $x$ en soustrayant $b$ des deux côtés de l’égalité : on obtient $ax = c - b$ .
Diviser les deux côtés de l’égalité par $a$ (le coefficient de $x$ ) : on obtient $x = \dfrac{c - b}{a}$ .
Vérifier la solution trouvée en la substituant dans l’équation de départ.

Exemple. Résolvons $3x + 7 = 22$ . On soustrait $7$ des deux côtés : $3x = 22 - 7 = 15$ . On divise par $3$ : $x = 15 \div 3 = 5$ . Vérification : $3 \times 5 + 7 = 15 + 7 = 22$ . ✓

Une équation, c'est une balance en équilibre : appliquer la même opération aux deux plateaux ne casse pas l'équilibre.

Astuce. Chaque étape de résolution consiste à appliquer la même opération aux deux côtés de l’égalité, pour ne pas la modifier — un peu comme une balance qui doit rester en équilibre.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Résoudre une équation du type $ax + b = cx + d$

Méthode. Lorsque l’inconnue apparaît des deux côtés de l’égalité, on regroupe d’abord tous les termes en $x$ d’un même côté, et tous les nombres seuls de l’autre côté.

📋 Méthode — Résoudre une équation ax + b = cx + d

Soustraire $cx$ des deux côtés pour regrouper les termes en $x$ à gauche : $ax - cx + b = d$ .
Soustraire $b$ des deux côtés pour isoler complètement le terme en $x$ : $ax - cx = d - b$ .
Factoriser le terme de gauche : $(a - c)x = d - b$ .
Diviser par $(a - c)$ pour obtenir la solution.

Exemple. Résolvons $5x + 2 = 2x + 14$ . On soustrait $2x$ des deux côtés : $3x + 2 = 14$ . On soustrait $2$ : $3x = 12$ . On divise par $3$ : $x = 4$ . Vérification : $5 \times 4 + 2 = 22$ et $2 \times 4 + 14 = 22$ . ✓

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Résoudre une équation avec des parenthèses

Certaines équations contiennent des parenthèses, comme $3(x + 1) = 2x + 8$ . Avant de pouvoir regrouper les termes, il faut d’abord développer le membre concerné — exactement comme dans le chapitre sur la distributivité.

📋 Méthode — Résoudre une équation avec parenthèses

Développer chaque membre contenant des parenthèses, en appliquant la distributivité.
Une fois les parenthèses supprimées, résoudre l’équation obtenue comme au paragraphe précédent : regrouper les $x$ d’un côté, les nombres de l’autre.
Vérifier la solution en la substituant dans l’équation de départ (avec les parenthèses).

Exemple. Résolvons $3(x + 1) = 2x + 8$ . On développe le membre de gauche : $3(x + 1) = 3x + 3$ , l’équation devient $3x + 3 = 2x + 8$ . On soustrait $2x$ des deux côtés : $x + 3 = 8$ . On soustrait $3$ : $x = 5$ . Vérification : $3 \times (5 + 1) = 3 \times 6 = 18$ et $2 \times 5 + 8 = 18$ . ✓

Développer avant de regrouper : les trois étapes pour résoudre 3(x + 1) = 2x + 8.

Piège à éviter. Quand le facteur devant la parenthèse est négatif, comme dans $-2(x - 4)$ , il faut distribuer le signe $-2$ sur chaque terme : $-2(x - 4) = -2x + 8$ (et non $-2x - 8$ ).

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Mettre un problème en équation

📋 Méthode — Mettre un problème en équation

Choisir une lettre (souvent $x$ ) pour désigner la quantité inconnue recherchée.
Traduire chaque information de l’énoncé en une expression utilisant cette lettre.
Écrire une égalité entre deux expressions traduisant la contrainte du problème : c’est l’équation.
Résoudre l’équation, puis interpréter la solution dans le contexte de l’énoncé.

Exemple. Léa a $8$ € de plus que son frère. Ensemble, ils ont $34$ €. On note $x$ l’argent du frère ; Léa a alors $x + 8$ . L’équation est $x + (x + 8) = 34$ , soit $2x + 8 = 34$ . On résout : $2x = 26$ , donc $x = 13$ . Le frère a $13$ €, et Léa a $13 + 8 = 21$ €.

→ S’entraîner : Exercice 5