4e

La droite des milieux dans un triangle — Exercices d'application

1. Qu’est-ce que la droite des milieux ?

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Exercice 1 — ⭐

Dans un triangle $RST$ , le point $U$ est le milieu de $[RS]$ et le point $V$ est le milieu de $[RT]$ .

Comment appelle-t-on la droite $(UV)$ ?
À quel côté du triangle cette droite des milieux est-elle associée ?

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Une droite qui relie les milieux de deux côtés d’un triangle est appelée, par définition, la droite des milieux de ce triangle. Ici, $(UV)$ relie les milieux de $[RS]$ et $[RT]$ : c’est donc la droite des milieux du triangle $RST$ .
La droite des milieux est toujours associée au troisième côté, celui dont les points $U$ et $V$ ne sont pas les milieux. Ici, le troisième côté du triangle est $[ST]$ : la droite des milieux $(UV)$ lui est donc associée.

2. Le théorème direct de la droite des milieux

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Exercice 2 — ⭐⭐

Dans un triangle $ABC$ , $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ est le milieu de $[AC]$ .

Que peux-tu dire des droites $(MN)$ et $(BC)$ ?
Si $BC = 18\,\text{cm}$ , calcule $MN$ .

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Comme $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ le milieu de $[AC]$ , la droite $(MN)$ est la droite des milieux du triangle $ABC$ relative au côté $[BC]$ . D’après le théorème direct de la droite des milieux, elle est donc nécessairement parallèle à $(BC)$ .
Le même théorème indique que la droite des milieux mesure toujours la moitié du côté auquel elle est associée : $MN = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{18}{2} = 9\,\text{cm}$ .

3. Calculer une longueur avec la droite des milieux

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Exercice 3 — ⭐⭐⭐

Dans un triangle $DEF$ , $I$ est le milieu de $[DE]$ et $J$ est le milieu de $[DF]$ , avec $IJ = 6{,}5\,\text{cm}$ .

Calcule la longueur $EF$ .
Le triangle $DEF$ a un périmètre de $34\,\text{cm}$ , avec $DE = 10\,\text{cm}$ et $DF = 11\,\text{cm}$ . Retrouve la longueur $EF$ par le calcul du périmètre, et vérifie la cohérence avec la question 1.

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Comme $I$ et $J$ sont les milieux de $[DE]$ et $[DF]$ , le segment $[IJ]$ est la moitié du côté associé $[EF]$ , d’après le théorème de la droite des milieux. On retrouve donc $EF$ en multipliant par $2$ : $EF = 2 \times IJ = 2 \times 6{,}5 = 13\,\text{cm}$ .
Le périmètre d’un triangle est la somme de ses trois côtés : $\text{périmètre} = DE + DF + EF$ . En remplaçant les valeurs connues : $34 = 10 + 11 + EF$ , soit $34 = 21 + EF$ . On isole $EF$ en soustrayant $21$ : $EF = 34 - 21 = 13\,\text{cm}$ . Ce résultat est exactement celui trouvé à la question 1 : les deux méthodes se confirment mutuellement. ✓

4. La réciproque du théorème de la droite des milieux

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Exercice 4 — ⭐⭐⭐

Dans un triangle $GHK$ , le point $L$ est le milieu de $[GH]$ . La droite passant par $L$ et parallèle à $(HK)$ coupe $[GK]$ en un point $P$ .

D’après quel résultat peut-on affirmer que $P$ est le milieu de $[GK]$ ?
Si $GK = 20\,\text{cm}$ , calcule $GP$ .
Si $HK = 15\,\text{cm}$ , calcule $LP$ .

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On dispose ici d’un milieu déjà connu ( $L$ , milieu de $[GH]$ ) et d’un parallélisme donné (la droite passant par $L$ est parallèle à $(HK)$ ) : c’est exactement la situation décrite par la réciproque du théorème de la droite des milieux, qui permet de conclure que $P$ est à son tour le milieu du troisième côté, $[GK]$ .
Puisque $P$ est le milieu de $[GK]$ , la longueur $GP$ correspond à la moitié de $GK$ : $GP = \dfrac{GK}{2} = \dfrac{20}{2} = 10\,\text{cm}$ .
Comme $L$ et $P$ sont désormais tous deux identifiés comme les milieux de $[GH]$ et $[GK]$ , le segment $[LP]$ constitue la droite des milieux relative au côté $[HK]$ : sa longueur vaut donc la moitié de $HK$ , soit $LP = \dfrac{HK}{2} = \dfrac{15}{2} = 7{,}5\,\text{cm}$ .

Exercice 5 — ⭐⭐⭐⭐

Un géomètre doit mesurer la largeur $BC$ d’un étang, mais un obstacle l’empêche de mesurer directement cette distance. Il choisit un point $A$ visible depuis les deux rives, mesure $AB = 80\,\text{m}$ et $AC = 60\,\text{m}$ , puis place le point $M$ milieu de $[AB]$ et le point $N$ milieu de $[AC]$ , deux points accessibles sur la terre ferme. Il mesure alors $MN = 27\,\text{m}$ .

Pourquoi peut-il affirmer que $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ ?
Calcule la largeur réelle $BC$ de l’étang.
Le géomètre veut vérifier son résultat autrement : il sait qu’un triangle semblable plus grand, ayant les mêmes proportions, donnerait le même rapport entre $MN$ et $BC$ . Vérifie que le rapport $\dfrac{MN}{BC}$ vaut bien $\dfrac{1}{2}$ avec le résultat trouvé.

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$M$ étant le milieu de $[AB]$ et $N$ le milieu de $[AC]$ , la droite $(MN)$ est la droite des milieux du triangle $ABC$ relative au troisième côté, $[BC]$ . D’après le théorème direct de la droite des milieux, une telle droite est toujours parallèle au côté auquel elle est associée : $(MN)$ est donc bien parallèle à $(BC)$ , même si cette dernière traverse l’étang et n’est pas directement mesurable.
Toujours d’après le même théorème, la droite des milieux mesure la moitié du côté associé, soit $MN = \dfrac{BC}{2}$ . On en déduit $BC$ en multipliant par $2$ : $BC = 2 \times MN = 2 \times 27 = 54\,\text{m}$ .
On calcule le rapport avec les valeurs trouvées : $\dfrac{MN}{BC} = \dfrac{27}{54}$ . En simplifiant cette fraction (en divisant le numérateur et le dénominateur par $27$ ), on obtient $\dfrac{1}{2}$ , ce qui confirme bien la relation attendue du théorème de la droite des milieux : la droite des milieux mesure toujours exactement la moitié du côté auquel elle est associée. ✓

5. Aller plus loin : le théorème de Varignon

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Exercice 6 — ⭐⭐⭐⭐⭐

$ABCD$ est un quadrilatère quelconque (ni aligné, ni croisé). $M$ , $N$ , $P$ et $Q$ sont les milieux respectifs de $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ et $[DA]$ . On trace la diagonale $[AC]$ .

Dans le triangle $ABC$ , que représente la droite $(MN)$ ? Qu’en déduis-tu sur $(MN)$ et $(AC)$ ?
Dans le triangle $ACD$ , que représente la droite $(QP)$ ? Qu’en déduis-tu sur $(QP)$ et $(AC)$ ?
Déduis des deux questions précédentes que $(MN)$ et $(QP)$ sont parallèles, et que $MN = QP$ .
Quelle est la nature du quadrilatère $MNPQ$ ? Justifie en citant la propriété utilisée.

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$M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ est le milieu de $[BC]$ : la droite $(MN)$ est donc la droite des milieux du triangle $ABC$ , relative au côté $[AC]$ . D’après le théorème direct de la droite des milieux, $(MN)$ est parallèle à $(AC)$ , et $MN = \dfrac{AC}{2}$ .
$Q$ est le milieu de $[DA]$ et $P$ est le milieu de $[CD]$ : la droite $(QP)$ est donc la droite des milieux du triangle $ACD$ , relative au même côté $[AC]$ . D’après le même théorème, $(QP)$ est parallèle à $(AC)$ , et $QP = \dfrac{AC}{2}$ .
$(MN)$ et $(QP)$ sont toutes deux parallèles à la même droite $(AC)$ : elles sont donc parallèles entre elles. De plus, $MN = \dfrac{AC}{2}$ et $QP = \dfrac{AC}{2}$ : ces deux longueurs sont donc égales, $MN = QP$ .
Le quadrilatère $MNPQ$ a deux côtés opposés, $[MN]$ et $[QP]$ , qui sont à la fois parallèles (question 3) et de même longueur (question 3). Un quadrilatère ayant une paire de côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme : $MNPQ$ est donc un parallélogramme, quelle que soit la forme du quadrilatère $ABCD$ de départ. C’est le théorème de Varignon.