La droite des milieux dans un triangle — Entraînement

Exercice 1 (4 points) — Qu'est-ce que la droite des milieux ?

Dans un triangle $XYZ$ , le point $P$ est le milieu de $[XY]$ et $Q$ est le milieu de $[YZ]$ .

Comment appelle-t-on la droite $(PQ)$ ? (1 point)
À quel côté du triangle cette droite est-elle associée ? (1 point)
Dans un triangle $LMN$ , $R$ est le milieu de $[LM]$ . $S$ est un point de $[LN]$ , mais pas nécessairement son milieu. La droite $(RS)$ est-elle automatiquement la droite des milieux du triangle $LMN$ ? Justifie. (2 points)

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Une droite qui relie les milieux de deux côtés d'un triangle est appelée la droite des milieux de ce triangle. Ici, $(PQ)$ relie les milieux de $[XY]$ et $[YZ]$ : c'est donc la droite des milieux du triangle $XYZ$ .
La droite des milieux est toujours associée au troisième côté, celui dont $P$ et $Q$ ne sont pas les milieux. Ici, ce troisième côté est $[XZ]$ .
Non. Pour être la droite des milieux, une droite doit passer par les milieux des deux côtés considérés. Ici, $R$ est bien le milieu de $[LM]$ , mais rien n'indique que $S$ est le milieu de $[LN]$ : tant que $S$ n'est pas précisément ce milieu, $(RS)$ n'est pas la droite des milieux du triangle.

Exercice 2 (4 points) — Le théorème direct de la droite des milieux

Dans un triangle $PQR$ , $S$ est le milieu de $[PQ]$ et $T$ est le milieu de $[PR]$ .

Que peux-tu dire des droites $(ST)$ et $(QR)$ ? (1 point)
Si $QR = 22\,\text{cm}$ , calcule $ST$ . (1 point)
Si $ST = 9\,\text{cm}$ , calcule $QR$ . (2 points)

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Comme $S$ est le milieu de $[PQ]$ et $T$ le milieu de $[PR]$ , la droite $(ST)$ est la droite des milieux du triangle $PQR$ relative au côté $[QR]$ . D'après le théorème direct, elle est donc parallèle à $(QR)$ .
La droite des milieux mesure toujours la moitié du côté associé : $ST = \dfrac{QR}{2} = \dfrac{22}{2} = 11\,\text{cm}$ .
En sens inverse, $QR = 2 \times ST = 2 \times 9 = 18\,\text{cm}$ .

Exercice 3 (4 points) — Calculer une longueur avec la droite des milieux

Dans un triangle $UVW$ , le point $I$ est le milieu de $[UV]$ et $J$ est le milieu de $[UW]$ , avec $IJ = 8\,\text{cm}$ .

Calcule la longueur $VW$ . (2 points)
Le triangle $UVW$ a un périmètre de $40\,\text{cm}$ , avec $UV = 14\,\text{cm}$ et $UW = 10\,\text{cm}$ . Retrouve $VW$ par le calcul du périmètre, et vérifie la cohérence avec la question 1. (2 points)

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Comme $I$ et $J$ sont les milieux de $[UV]$ et $[UW]$ , le segment $[IJ]$ est la moitié du côté associé $[VW]$ : $VW = 2 \times IJ = 2 \times 8 = 16\,\text{cm}$ .
Le périmètre est la somme des trois côtés : $\text{périmètre} = UV + UW + VW$ . En remplaçant : $40 = 14 + 10 + VW$ , soit $40 = 24 + VW$ , donc $VW = 40 - 24 = 16\,\text{cm}$ . Ce résultat est exactement celui de la question 1 : les deux méthodes se confirment. ✓

Exercice 4 (4 points) — La réciproque du théorème de la droite des milieux

Dans un triangle $CDE$ , le point $F$ est le milieu de $[CD]$ . La droite passant par $F$ et parallèle à $(DE)$ coupe $[CE]$ en un point $G$ .

D'après quel résultat peut-on affirmer que $G$ est le milieu de $[CE]$ ? (1 point)
Si $CE = 26\,\text{cm}$ , calcule $CG$ . (1 point)
Si $DE = 19\,\text{cm}$ , calcule $FG$ . (2 points)

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On dispose d'un milieu déjà connu ( $F$ , milieu de $[CD]$ ) et d'un parallélisme donné (la droite passant par $F$ est parallèle à $(DE)$ ) : c'est exactement la situation de la réciproque du théorème de la droite des milieux, qui permet de conclure que $G$ est à son tour le milieu de $[CE]$ .
Puisque $G$ est le milieu de $[CE]$ : $CG = \dfrac{CE}{2} = \dfrac{26}{2} = 13\,\text{cm}$ .
$F$ et $G$ étant les milieux de $[CD]$ et $[CE]$ , le segment $[FG]$ est la droite des milieux relative à $[DE]$ : $FG = \dfrac{DE}{2} = \dfrac{19}{2} = 9{,}5\,\text{cm}$ .

Exercice 5 (4 points) — Aller plus loin : le théorème de Varignon

$KLMN$ est un quadrilatère quelconque. Les points $R$ , $S$ , $T$ , $U$ sont les milieux respectifs de $[KL]$ , $[LM]$ , $[MN]$ et $[NK]$ . On trace la diagonale $[KM]$ .

Dans le triangle $KLM$ , que représente la droite $(RS)$ ? Qu'en déduis-tu sur $(RS)$ et $(KM)$ ? (1 point)
Dans le triangle $KMN$ , que représente la droite $(UT)$ ? Qu'en déduis-tu sur $(UT)$ et $(KM)$ ? (1 point)
Quelle est la nature du quadrilatère $RSTU$ ? Justifie en citant la propriété utilisée. (2 points)

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$R$ est le milieu de $[KL]$ et $S$ est le milieu de $[LM]$ : la droite $(RS)$ est donc la droite des milieux du triangle $KLM$ , relative au côté $[KM]$ . D'après le théorème direct, $(RS)$ est parallèle à $(KM)$ , et $RS = \dfrac{KM}{2}$ .
$U$ est le milieu de $[NK]$ et $T$ est le milieu de $[MN]$ : la droite $(UT)$ est donc la droite des milieux du triangle $KMN$ , relative au même côté $[KM]$ . D'après le même théorème, $(UT)$ est parallèle à $(KM)$ , et $UT = \dfrac{KM}{2}$ .
$(RS)$ et $(UT)$ sont toutes deux parallèles à la même droite $(KM)$ : elles sont donc parallèles entre elles. De plus, $RS = \dfrac{KM}{2} = UT$ : ces deux longueurs sont égales. Le quadrilatère $RSTU$ a donc deux côtés opposés, $[RS]$ et $[UT]$ , à la fois parallèles et de même longueur : c'est un parallélogramme, d'après le théorème de Varignon.

La droite des milieux dans un triangle — Entraînement type évaluation

Exercice 1 (4 points) — Qu'est-ce que la droite des milieux ?

Exercice 2 (4 points) — Le théorème direct de la droite des milieux

Exercice 3 (4 points) — Calculer une longueur avec la droite des milieux

Exercice 4 (4 points) — La réciproque du théorème de la droite des milieux

Exercice 5 (4 points) — Aller plus loin : le théorème de Varignon