La droite des milieux dans un triangle

1. Qu’est-ce que la droite des milieux ?

Définition. Dans un triangle $ABC$, la droite des milieux relative au côté $[BC]$ est la droite qui passe par le milieu de $[AB]$ et le milieu de $[AC]$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Le théorème direct de la droite des milieux

Propriété (théorème). Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté, et elle mesure la moitié de la longueur de ce troisième côté.

Exemple. Dans le triangle $ABC$ ci-dessus, si $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ le milieu de $[AC]$, alors $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, et $MN = \dfrac{BC}{2}$.

Méthode. Ce théorème est très utile pour prouver un parallélisme sans avoir besoin de mesurer un angle : il suffit de démontrer que les deux points considérés sont bien les milieux de deux côtés du triangle.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Calculer une longueur avec la droite des milieux

Exemple. Dans un triangle $ABC$ avec $BC = 14\,\text{cm}$, si $M$ et $N$ sont les milieux respectifs de $[AB]$ et $[AC]$, alors $MN = \dfrac{14}{2} = 7\,\text{cm}$.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. La réciproque du théorème de la droite des milieux

Propriété (réciproque). Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un second côté, alors elle passe aussi par le milieu du troisième côté.

Attention. Il ne faut pas confondre le théorème direct (deux milieux $\Rightarrow$ parallélisme et longueur moitié) et sa réciproque (un milieu et un parallélisme $\Rightarrow$ l’autre milieu) : ce sont deux outils différents, à utiliser selon ce que l’on connaît et ce que l’on cherche à démontrer.

Exemple. Dans un triangle $ABC$, si $M$ est le milieu de $[AB]$ et que la droite passant par $M$, parallèle à $(BC)$, coupe $[AC]$ en un point $N$, alors $N$ est nécessairement le milieu de $[AC]$, d’après la réciproque du théorème.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Aller plus loin : le théorème de Varignon

Propriété (théorème de Varignon). Dans un quadrilatère quelconque, le quadrilatère formé par les milieux des quatre côtés est toujours un parallélogramme — quelle que soit la forme du quadrilatère de départ (même s’il n’a ni angle droit, ni côtés égaux).

Méthode (démonstration). Ce résultat surprenant se démontre en appliquant deux fois le théorème direct de la droite des milieux, de part et d’autre d’une diagonale :

1. On trace une diagonale du quadrilatère, par exemple $[AC]$ : elle partage $ABCD$ en deux triangles, $ABC$ et $ACD$.
2. Dans le triangle $ABC$, $(MN)$ est la droite des milieux relative à $[AC]$ : donc $(MN)$ est parallèle à $(AC)$ et $MN = \dfrac{AC}{2}$.
3. Dans le triangle $ACD$, $(QP)$ est la droite des milieux relative à $[AC]$ : donc $(QP)$ est parallèle à $(AC)$ et $QP = \dfrac{AC}{2}$.
4. $(MN)$ et $(QP)$ sont donc toutes deux parallèles à $(AC)$, donc parallèles entre elles ; et $MN = QP$ (toutes deux égales à $\dfrac{AC}{2}$). Un quadrilatère qui a deux côtés opposés à la fois parallèles et de même longueur est un parallélogramme : $MNPQ$ en est donc un.

→ S’entraîner : Exercice 6