Calcul littéral : développer et factoriser — Exercices d'application

1. Un carré a quatre côtés égaux à $c$ : son périmètre est donc la somme de ces quatre côtés, soit $P = 4c$.
2. Pour évaluer une expression littérale pour une valeur donnée, on remplace la lettre par cette valeur puis on calcule dans l’ordre des priorités opératoires. En remplaçant $x$ par $5$ : $3 \times 5 + 7 = 15 + 7 = 22$.
3. On remplace $x$ par $3$, en n’oubliant pas de calculer la puissance avant la multiplication et la soustraction : $2 \times 3^2 - 4 = 2 \times 9 - 4 = 18 - 4 = 14$.

Dans chaque cas, on applique la distributivité, $k(a + b) = ka + kb$, en multipliant le facteur extérieur par chacun des deux termes à l’intérieur de la parenthèse.

1. On multiplie $4$ par $x$, puis $4$ par $6$ : $4(x + 6) = 4 \times x + 4 \times 6 = 4x + 24$.
2. On multiplie $7$ par $2x$, puis $7$ par $3$ (en gardant le signe moins) : $7(2x - 3) = 7 \times 2x - 7 \times 3 = 14x - 21$.
3. On multiplie $-3$ par $x$, puis $-3$ par $5$ : comme le facteur extérieur est négatif, les deux signes obtenus sont négatifs : $-3(x + 5) = -3x - 15$.

Un signe $-$ devant une parenthèse change le signe de chacun des termes à l’intérieur : $-(a+b) = -a-b$ et $-(a-b) = -a+b$.

1. $-(x + 7) = -x - 7$.
2. $-(5 - 2x) = -5 + 2x$.
3. On développe d’abord l’opposé de la parenthèse : $8 - (3x + 2) = 8 - 3x - 2$. On regroupe ensuite les nombres seuls : $8 - 2 = 6$, ce qui donne $6 - 3x$.
4. On développe le second groupe, précédé d’un signe $-$ : $(4x + 1) - (2x - 5) = 4x + 1 - 2x + 5$. On regroupe les termes en $x$ ($4x - 2x = 2x$) puis les nombres seuls ($1 + 5 = 6$) : le résultat est $2x + 6$.

Pour factoriser, on repère un facteur commun aux deux termes de l’expression, on l’écrit devant une parenthèse, et l’on place à l’intérieur ce qu’il reste de chaque terme une fois ce facteur retiré.

1. Le nombre $4$ divise à la fois $8$ (car $8 = 4 \times 2$) et $20$ (car $20 = 4 \times 5$) : $8x + 20 = 4(2x + 5)$. On peut vérifier en redéveloppant : $4 \times 2x + 4 \times 5 = 8x + 20$. ✓
2. Le nombre $9$ divise à la fois $9$ (trivialement) et $27$ (car $27 = 9 \times 3$) : $9x - 27 = 9(x - 3)$.
3. Le nombre $5$ divise à la fois $5x$ et $5$ : $5x + 5 = 5(x + 1)$.

Réduire une expression consiste à regrouper séparément les termes contenant $x$ d’un côté et les nombres seuls de l’autre.

1. On regroupe les termes en $x$ : $5x + 2x = 7x$. On regroupe les nombres seuls : $3 - 8 = -5$. En rassemblant : $5x + 3 + 2x - 8 = 7x - 5$.
2. On développe d’abord la parenthèse par distributivité : $3(x + 2) = 3x + 6$. L’expression devient $3x + 6 + 4x$. On regroupe ensuite les termes en $x$ : $3x + 4x = 7x$. Il reste donc $7x + 6$.
3. On développe chaque partie séparément : $2(x - 1) = 2x - 2$, et $-(3x + 4) = -3x - 4$ (le signe moins devant la parenthèse change le signe de chaque terme à l’intérieur, comme vu à la section 3). L’expression devient $2x - 2 - 3x - 4$. On regroupe les termes en $x$ : $2x - 3x = -x$. On regroupe les nombres seuls : $-2 - 4 = -6$. Le résultat final est $-x - 6$.

1. « $6\,\text{m}$ de moins que la longueur » se traduit directement par une soustraction : la largeur est $x - 6$.
2. Le périmètre d’un rectangle vaut deux fois la somme de sa longueur et de sa largeur : $P = 2 \times \big(x + (x - 6)\big)$. On réduit d’abord l’intérieur de la parenthèse : $x + (x - 6) = 2x - 6$. On développe ensuite par distributivité : $P = 2(2x - 6) = 4x - 12$.
3. L’aire d’un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur : $A = x \times (x - 6) = x(x - 6)$, une expression que l’on peut laisser sous cette forme factorisée sans la développer.
4. On remplace $x$ par $20$ dans les deux formules trouvées. Périmètre : $P = 4 \times 20 - 12 = 80 - 12 = 68\,\text{m}$. Aire : $A = 20 \times (20 - 6) = 20 \times 14 = 280\,\text{m}^2$.