4e⏱ 50 minutes

Calcul littéral : développer et factoriser — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points.

Exercice 1 (4 points) — Formule et substitution

Écris une formule donnant l'aire $A$ d'un rectangle de longueur $x$ et de largeur $8$ . (1 point)
Calcule la valeur de l'expression $4x + 9$ pour $x = 6$ . (1 point)
Calcule la valeur de l'expression $3x^2 - 5$ pour $x = 2$ . (2 points)

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L'aire d'un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur : $A = 8x$ (ou $A = x \times 8$ ).
On remplace $x$ par $6$ : $4 \times 6 + 9 = 24 + 9 = 33$ .
On remplace $x$ par $2$ , en calculant d'abord la puissance : $3 \times 2^2 - 5 = 3 \times 4 - 5 = 12 - 5 = 7$ .

Exercice 2 (4 points) — Développer avec la distributivité

Développe les expressions suivantes.

$6(x + 4)$ (1 point)
$5(2x - 7)$ (1 point)
$-2(x + 9)$ (2 points)

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On applique la distributivité, $k(a+b) = ka+kb$ , en multipliant le facteur extérieur par chacun des deux termes à l'intérieur de la parenthèse.

$6(x + 4) = 6 \times x + 6 \times 4 = 6x + 24$ .
$5(2x - 7) = 5 \times 2x - 5 \times 7 = 10x - 35$ .
Le facteur extérieur $-2$ est négatif : $-2(x + 9) = -2 \times x - 2 \times 9 = -2x - 18$ .

Exercice 3 (4 points) — L'opposé d'une somme ou d'une différence

Développe $-(4 - 5x)$ . (1 point)
Développe $-(x + 6)$ . (1 point)
Réduis $9 - (2x + 6)$ . (2 points)

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Un signe $-$ devant une parenthèse change le signe de chacun des termes à l'intérieur : $-(a+b) = -a-b$ et $-(a-b) = -a+b$ .

$-(4 - 5x) = -4 + 5x$ .
$-(x + 6) = -x - 6$ .
On développe d'abord l'opposé de la parenthèse : $9 - (2x + 6) = 9 - 2x - 6$ . On regroupe ensuite les nombres seuls : $9 - 6 = 3$ , ce qui donne $3 - 2x$ .

Exercice 4 (4 points) — Factoriser avec la distributivité

Factorise les expressions suivantes.

$12x + 18$ (2 points)
$10x - 15$ (2 points)

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Pour factoriser, on repère un facteur commun aux deux termes, on l'écrit devant une parenthèse, et l'on place à l'intérieur ce qu'il reste de chaque terme une fois ce facteur retiré.

Le nombre $6$ divise à la fois $12$ (car $12 = 6 \times 2$ ) et $18$ (car $18 = 6 \times 3$ ) : $12x + 18 = 6(2x + 3)$ . Vérification en redéveloppant : $6 \times 2x + 6 \times 3 = 12x + 18$ . ✓
Le nombre $5$ divise à la fois $10$ (car $10 = 5 \times 2$ ) et $15$ (car $15 = 5 \times 3$ ) : $10x - 15 = 5(2x - 3)$ .

Exercice 5 (4 points) — Problème : réduire et calculer

Un terrain rectangulaire a pour longueur $x$ (en mètres) et pour largeur $x - 5$ .

Développe et réduis l'expression $4(x + 1) - (2x - 3)$ . (1 point)
Exprime le périmètre $P$ de ce terrain en fonction de $x$ , sous forme développée et réduite. (2 points)
Calcule ce périmètre pour $x = 30\,\text{m}$ . (1 point)

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On développe d'abord chaque parenthèse : $4(x + 1) = 4x + 4$ , et $-(2x - 3) = -2x + 3$ (le signe moins devant la parenthèse change le signe de chaque terme). L'expression devient $4x + 4 - 2x + 3$ . On regroupe les termes en $x$ ( $4x - 2x = 2x$ ) puis les nombres seuls ( $4 + 3 = 7$ ) : le résultat est $2x + 7$ .
Le périmètre d'un rectangle vaut deux fois la somme de sa longueur et de sa largeur : $P = 2\big(x + (x - 5)\big)$ . On réduit d'abord l'intérieur de la parenthèse : $x + (x - 5) = 2x - 5$ . On développe ensuite par distributivité : $P = 2(2x - 5) = 4x - 10$ .
On remplace $x$ par $30$ dans la formule trouvée : $P = 4 \times 30 - 10 = 120 - 10 = 110\,\text{m}$ .