Calcul littéral : développer et factoriser

1. Produire et utiliser une formule littérale

Définition. Une expression littérale est une expression mathématique contenant une ou plusieurs lettres, qui représentent des nombres inconnus ou variables.

Exemple. L’aire d’un rectangle de longueur $x$ et de largeur $5$ s’écrit $A = 5x$ (ou $5 \times x$). Le périmètre de ce même rectangle s’écrit $P = 2x + 10$, ou encore $P = 2(x + 5)$.

Méthode. Pour calculer la valeur d’une expression littérale pour une valeur donnée de la lettre, on remplace la lettre par cette valeur puis on effectue le calcul obtenu (cette opération s’appelle une substitution).

Exemple. Pour $x = 4$, l’expression $A = 5x$ vaut $A = 5 \times 4 = 20$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Développer une expression avec la distributivité

Propriété — distributivité. Pour tout nombre $k$, $a$ et $b$ : $$k(a + b) = ka + kb \qquad \text{et} \qquad k(a - b) = ka - kb$$

Définition. Développer une expression, c’est transformer un produit en une somme (ou une différence), en appliquant la distributivité.

Exemple. Développons $5(x + 3)$. On applique la distributivité : $5(x + 3) = 5 \times x + 5 \times 3 = 5x + 15$.

Attention. Un piège fréquent est d’oublier de multiplier tous les termes à l’intérieur de la parenthèse : dans $4(2x - 7)$, il faut bien multiplier par $4$ à la fois le $2x$ et le $7$, ce qui donne $8x - 28$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. L’opposé d’une somme ou d’une différence

Propriété. Un signe $-$ placé juste devant une parenthèse change le signe de chacun des termes à l’intérieur : c’est un cas particulier de la distributivité, avec un facteur $-1$. $$-(a + b) = -a - b \qquad \text{et} \qquad -(a - b) = -a + b$$

Exemple. Développons $-(2 - 3x)$. Le signe $-$ change le signe de chaque terme : $-(2 - 3x) = -2 + 3x$.

Autre exemple. Réduisons $5 - (2x + 3)$. On développe d’abord l’opposé de la parenthèse : $5 - (2x + 3) = 5 - 2x - 3$. On regroupe ensuite les nombres seuls : $5 - 2x - 3 = 2 - 2x$.

Astuce. On retrouve exactement la même règle qu’avec un facteur $-3$ devant une parenthèse (section précédente) : ici, le facteur est simplement $-1$, qui ne s’écrit pas.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Factoriser une expression avec la distributivité

Définition. Factoriser une expression, c’est l’opération inverse de développer : c’est transformer une somme (ou une différence) en un produit, en utilisant un facteur commun.

Exemple. Factorisons $6x + 15$. Le nombre $3$ est un facteur commun à $6x$ (car $6x = 3 \times 2x$) et à $15$ (car $15 = 3 \times 5$). On obtient $6x + 15 = 3(2x + 5)$. Vérification : $3(2x + 5) = 6x + 15$. ✓

Astuce. Factoriser, c’est parcourir la figure de la section 2 dans l’autre sens : on part des deux aires séparées $ka$ et $kb$ pour retrouver le grand rectangle $k(a+b)$.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Réduire une expression littérale

Définition. Réduire une expression littérale, c’est regrouper entre eux les termes qui contiennent la même lettre (ou aucune lettre), pour l’écrire le plus simplement possible.

Exemple. Réduisons $3x + 5 + 2x - 1$. On regroupe les termes en $x$ : $3x + 2x = 5x$. On regroupe les nombres seuls : $5 - 1 = 4$. On obtient au final $3x + 5 + 2x - 1 = 5x + 4$.

Astuce. Une expression développée puis réduite est souvent plus facile à évaluer par substitution qu’une expression contenant encore des parenthèses ou des termes non regroupés.

→ S’entraîner : Exercice 5