Trigonométrie dans le triangle rectangle — Exercices d'application

1. L’hypoténuse est toujours le côté opposé à l’angle droit. Ici, l’angle droit est au sommet $S$, donc l’hypoténuse est le côté qui ne touche pas ce sommet : $[RT]$.
2. Par rapport à l’angle situé en $R$ : le côté opposé est celui qui ne touche pas ce sommet, donc $[ST]$ ; le côté adjacent est l’autre côté qui touche ce sommet sans être l’hypoténuse, donc $[RS]$.

On applique directement les trois définitions du cours, en identifiant bien quel côté est au numérateur et lequel est au dénominateur pour chaque ligne trigonométrique.

1. Le cosinus est le rapport du côté adjacent sur l’hypoténuse : $\cos(\widehat{x}) = \dfrac{12}{15} = 0{,}8$.
2. Le sinus est le rapport du côté opposé sur l’hypoténuse : $\sin(\widehat{x}) = \dfrac{9}{15} = 0{,}6$.
3. La tangente est le rapport du côté opposé sur le côté adjacent : $\tan(\widehat{x}) = \dfrac{9}{12} = 0{,}75$.

1. On cherche une relation entre le côté opposé ($AB$) et l’hypoténuse ($AC$), qui sont les deux longueurs concernées ici (l’une inconnue, l’autre connue) : c’est le sinus qui relie exactement ces deux côtés.
2. On pose l’égalité correspondante : $\sin(40°) = \dfrac{AB}{20}$. On isole $AB$ en multipliant les deux côtés par $20$ : $AB = 20 \times \sin(40°) \approx 20 \times 0{,}643 = 12{,}86$, que l’on arrondit à $12{,}9\,\text{cm}$.
3. Cette fois, on cherche une relation entre le côté adjacent ($BC$) et l’hypoténuse ($AC$) : c’est le cosinus qui relie ces deux côtés.
4. On pose : $\cos(40°) = \dfrac{BC}{20}$. On isole $BC$ : $BC = 20 \times \cos(40°) \approx 20 \times 0{,}766 = 15{,}32$, que l’on arrondit à $15{,}3\,\text{cm}$.

1. Les deux longueurs connues sont le côté opposé ($EF$) et le côté adjacent ($DE$) à l’angle en $D$ : c’est la tangente qui relie exactement ces deux côtés (et non le sinus ou le cosinus, qui font intervenir l’hypoténuse, ici inconnue).
2. On calcule le rapport correspondant : $\tan(\widehat{D}) = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$.
3. Pour retrouver la mesure de l’angle à partir de la valeur de sa tangente, on utilise la fonction trigonométrique inverse (touche $\tan^{-1}$ de la calculatrice), en saisissant la fraction exacte pour ne pas arrondir avant la fin : $\widehat{D} = \tan^{-1}\left(\dfrac{4}{3}\right) \approx 53{,}1°$, soit $53°$ au degré près.

1. Le triangle rectangle est formé de trois éléments : la hauteur du phare (verticale, côté opposé à l’angle d’observation), la distance horizontale entre le bateau et le pied du phare (côté adjacent), et la ligne de visée du marin vers le sommet du phare (hypoténuse). L’angle droit se situe au pied du phare, là où la hauteur verticale rencontre le sol horizontal.
2. Le côté opposé (hauteur du phare) et le côté adjacent (distance horizontale) sont reliés par la tangente.
3. On pose l’égalité : $\tan(18°) = \dfrac{42}{d}$, où $d$ est la distance cherchée. On isole $d$ en multipliant par $d$ puis en divisant par $\tan(18°)$ : $d = \dfrac{42}{0{,}325} \approx 129\,\text{m}$ (arrondi au mètre).
4. On applique la même méthode avec le nouvel angle : $\tan(30°) = \dfrac{42}{d'}$, donc $d' = \dfrac{42}{0{,}577} \approx 73\,\text{m}$. En comparant les deux distances trouvées, $73\,\text{m}$ est bien inférieure à $129\,\text{m}$ : ce résultat est cohérent avec la situation physique, puisque plus un bateau se rapproche d’un objet, plus l’angle sous lequel on l’observe augmente.

1. $\sin^2(\widehat{x}) = 1 - 0{,}8^2 = 1 - 0{,}64 = 0{,}36$, donc $\sin(\widehat{x}) = 0{,}6$ (positif, car l’angle est aigu).
2. $\tan(\widehat{x}) = \dfrac{\sin(\widehat{x})}{\cos(\widehat{x})} = \dfrac{0{,}6}{0{,}8} = 0{,}75$.
3. $\widehat{x} = \cos^{-1}(0{,}8) \approx 36{,}9°$, soit environ $37°$.
4. Les deux angles aigus ont pour somme $90°$ : l’autre angle mesure environ $90° - 36{,}9° = 53{,}1°$, soit $53°$. À la calculatrice, $\sin(53°) \approx 0{,}799$, donc environ $0{,}8$. C’est normal : le côté opposé à l’un des angles est le côté adjacent à l’autre, donc $\sin(90° - \widehat{x}) = \cos(\widehat{x})$.
5. Le côté opposé à un angle aigu est strictement plus petit que l’hypoténuse, donc le rapport $\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ est strictement inférieur à $1$ : un sinus (ou un cosinus) d’angle aigu ne peut pas valoir $1{,}3$.

1. La hauteur est le côté opposé à l’angle de $65°$ et l’échelle est l’hypoténuse : c’est le sinus. $\sin(65°) = \dfrac{3{,}2}{L}$, donc $L = \dfrac{3{,}2}{\sin(65°)} \approx \dfrac{3{,}2}{0{,}906} \approx 3{,}53$, soit $3{,}5\,\text{m}$.
2. La hauteur est le côté opposé et la distance au mur est le côté adjacent : c’est la tangente. $\tan(65°) = \dfrac{3{,}2}{d}$, donc $d = \dfrac{3{,}2}{\tan(65°)} \approx \dfrac{3{,}2}{2{,}145} \approx 1{,}49$, soit $1{,}5\,\text{m}$.
3. Le triangle est rectangle au pied du mur : $d^2 + 3{,}2^2 = 1{,}5^2 + 10{,}24 = 12{,}49$ et $\sqrt{12{,}49} \approx 3{,}53$, ce qui correspond bien à $L \approx 3{,}5\,\text{m}$. ✓ (Dans les deux cas, on a divisé, car l’inconnue était au dénominateur.)

1. On connaît deux côtés et on cherche le troisième : théorème de Pythagore, dans le triangle rectangle en $A$ : $BC^2 = AB^2 + AC^2$, donc $AC^2 = 12^2 - 7^2 = 144 - 49 = 95$ et $AC = \sqrt{95} \approx 9{,}7\,\text{cm}$.
2. On connaît deux côtés et on cherche un angle : trigonométrie inverse. Par rapport à l’angle en $B$, $AB$ est adjacent et $BC$ est l’hypoténuse : c’est le cosinus. $\cos(\widehat{B}) = \dfrac{7}{12}$, donc $\widehat{B} = \cos^{-1}\left(\dfrac{7}{12}\right) \approx 54{,}3°$, soit $54°$ au degré près.
3. Les deux angles aigus ont pour somme $90°$ : $\widehat{C} = 90° - 54{,}3° = 35{,}7°$, soit $36°$ au degré près.
4. Par rapport à l’angle en $C$, $AB$ est le côté opposé et $AC$ le côté adjacent : $\tan(\widehat{C}) = \dfrac{7}{\sqrt{95}} \approx 0{,}718$, et $\tan^{-1}(0{,}718) \approx 35{,}7°$ : on retrouve bien le même angle. ✓