Aller au contenu principal
3e⏱ 50 minutes

Trigonométrie dans le triangle rectangle — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon, la calculatrice en mode degrés. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points.

Exercice 1 (4 points) — Nommer et calculer

Le triangle EFGEFG est rectangle en FF, avec EF=5 cmEF = 5\,\text{cm}, FG=12 cmFG = 12\,\text{cm} et EG=13 cmEG = 13\,\text{cm}.

  1. Par rapport à l'angle en EE, indique le côté opposé, le côté adjacent et l'hypoténuse. (1 point)
  2. Donne, sous forme de fractions, cos⁡(E^)\cos(\widehat{E}), sin⁡(E^)\sin(\widehat{E}) et tan⁡(E^)\tan(\widehat{E}). (1,5 point)
  3. Donne de même cos⁡(G^)\cos(\widehat{G}), sin⁡(G^)\sin(\widehat{G}) et tan⁡(G^)\tan(\widehat{G}). Que remarques-tu entre cos⁡(E^)\cos(\widehat{E}) et sin⁡(G^)\sin(\widehat{G}) ? (1,5 point)
Voir le corrigé
  1. L'angle droit est en FF, donc l'hypoténuse est [EG][EG] (le côté qui ne touche pas FF). Par rapport à l'angle en EE : le côté opposé est [FG][FG] et le côté adjacent est [EF][EF].
  2. cos⁡(E^)=EFEG=513\cos(\widehat{E}) = \dfrac{EF}{EG} = \dfrac{5}{13} ; sin⁡(E^)=FGEG=1213\sin(\widehat{E}) = \dfrac{FG}{EG} = \dfrac{12}{13} ; tan⁡(E^)=FGEF=125\tan(\widehat{E}) = \dfrac{FG}{EF} = \dfrac{12}{5}.
  3. Par rapport à l'angle en GG, le côté opposé est [EF][EF] et le côté adjacent est [FG][FG] : cos⁡(G^)=1213\cos(\widehat{G}) = \dfrac{12}{13} ; sin⁡(G^)=513\sin(\widehat{G}) = \dfrac{5}{13} ; tan⁡(G^)=512\tan(\widehat{G}) = \dfrac{5}{12}. On remarque que cos⁡(E^)=sin⁡(G^)=513\cos(\widehat{E}) = \sin(\widehat{G}) = \dfrac{5}{13} : les deux angles sont complémentaires (E^+G^=90°\widehat{E} + \widehat{G} = 90°).

Exercice 2 (4 points) — Calculer une longueur

Le triangle ABCABC est rectangle en AA, avec B^=50°\widehat{B} = 50° et BC=15 cmBC = 15\,\text{cm}. On donne sin⁡(50°)≈0,766\sin(50°) \approx 0{,}766 et cos⁡(50°)≈0,643\cos(50°) \approx 0{,}643.

  1. Quelle ligne trigonométrique permet de calculer ACAC ? Justifie. (1 point)
  2. Calcule ACAC au dixième de centimètre. (1,5 point)
  3. Calcule ABAB au dixième de centimètre. (1,5 point)
Voir le corrigé
  1. On connaît l'hypoténuse BCBC et on cherche ACAC, qui est le côté opposé à l'angle en BB : c'est le sinus.
  2. sin⁡(50°)=AC15\sin(50°) = \dfrac{AC}{15}, donc AC=15×sin⁡(50°)≈15×0,766=11,49AC = 15 \times \sin(50°) \approx 15 \times 0{,}766 = 11{,}49, soit 11,5 cm11{,}5\,\text{cm}.
  3. ABAB est le côté adjacent à l'angle en BB : cos⁡(50°)=AB15\cos(50°) = \dfrac{AB}{15}, donc AB=15×cos⁡(50°)≈15×0,643=9,645AB = 15 \times \cos(50°) \approx 15 \times 0{,}643 = 9{,}645, soit 9,6 cm9{,}6\,\text{cm}.

Exercice 3 (4 points) — Calculer un angle

Le triangle HIJHIJ est rectangle en II, avec HI=7 cmHI = 7\,\text{cm} et IJ=24 cmIJ = 24\,\text{cm}.

  1. Calcule tan⁡(J^)\tan(\widehat{J}) sous forme de fraction. (1 point)
  2. En déduis l'angle J^\widehat{J} au degré près. (1,5 point)
  3. Calcule HJHJ avec le théorème de Pythagore, puis vérifie l'angle J^\widehat{J} avec le sinus. (1,5 point)
Voir le corrigé
  1. Par rapport à l'angle en JJ, HIHI est le côté opposé et IJIJ le côté adjacent : tan⁡(J^)=724\tan(\widehat{J}) = \dfrac{7}{24}.
  2. J^=tan⁡−1(724)≈16,3°\widehat{J} = \tan^{-1}\left(\dfrac{7}{24}\right) \approx 16{,}3°, soit 16°16° au degré près.
  3. Dans le triangle HIJHIJ rectangle en II : HJ2=72+242=49+576=625HJ^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625, donc HJ=25 cmHJ = 25\,\text{cm}. Alors sin⁡(J^)=HIHJ=725=0,28\sin(\widehat{J}) = \dfrac{HI}{HJ} = \dfrac{7}{25} = 0{,}28 et sin⁡−1(0,28)≈16,3°\sin^{-1}(0{,}28) \approx 16{,}3° : on retrouve le même angle. ✓

Exercice 4 (4 points) — Problème : la rampe d'accès

Une rampe d'accès doit permettre de franchir une marche de 0,5 m0{,}5\,\text{m} de hauteur en faisant un angle de 8°8° avec le sol horizontal. On donne sin⁡(8°)≈0,1392\sin(8°) \approx 0{,}1392 et tan⁡(8°)≈0,1405\tan(8°) \approx 0{,}1405.

  1. Fais un schéma en identifiant le triangle rectangle. (1 point)
  2. Calcule la longueur de la rampe au dixième de mètre. (1,5 point)
  3. Calcule la distance horizontale que la rampe occupe au sol, au dixième de mètre. (1,5 point)
Voir le corrigé
  1. Le triangle rectangle est formé de la hauteur de la marche (0,5 m0{,}5\,\text{m}, verticale, côté opposé à l'angle de 8°8°), de la distance horizontale au sol (côté adjacent) et de la rampe (hypoténuse).
  2. La hauteur est opposée et la rampe est l'hypoténuse : sinus. sin⁡(8°)=0,5L\sin(8°) = \dfrac{0{,}5}{L}, donc L=0,50,1392≈3,59L = \dfrac{0{,}5}{0{,}1392} \approx 3{,}59, soit 3,6 m3{,}6\,\text{m}.
  3. La hauteur est opposée et la distance au sol est adjacente : tangente. tan⁡(8°)=0,5d\tan(8°) = \dfrac{0{,}5}{d}, donc d=0,50,1405≈3,56d = \dfrac{0{,}5}{0{,}1405} \approx 3{,}56, soit 3,6 m3{,}6\,\text{m}. (Contrôle avec Pythagore : 0,52+3,562≈3,59\sqrt{0{,}5^2 + 3{,}56^2} \approx 3{,}59, cohérent avec la longueur de la rampe.)

Exercice 5 (4 points) — Relations et idées reçues

  1. Un élève écrit « cos⁡(x^)=1,2\cos(\widehat{x}) = 1{,}2 » pour un angle aigu d'un triangle rectangle. Explique pourquoi c'est impossible. (1 point)
  2. Un angle aigu x^\widehat{x} vérifie cos⁡(x^)=0,6\cos(\widehat{x}) = 0{,}6. Calcule sin⁡(x^)\sin(\widehat{x}) puis tan⁡(x^)\tan(\widehat{x}). (2 points)
  3. On donne cos⁡(32°)≈0,848\cos(32°) \approx 0{,}848. Sans calculatrice, donne une valeur approchée de sin⁡(58°)\sin(58°) et justifie. (1 point)
Voir le corrigé
  1. Le côté adjacent est plus petit que l'hypoténuse, donc le rapport adjacenthypoteˊnuse\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} est strictement inférieur à 11 : un cosinus d'angle aigu ne peut pas valoir 1,21{,}2.
  2. sin⁡2(x^)=1−0,62=1−0,36=0,64\sin^2(\widehat{x}) = 1 - 0{,}6^2 = 1 - 0{,}36 = 0{,}64, donc sin⁡(x^)=0,8\sin(\widehat{x}) = 0{,}8 (positif, car l'angle est aigu). Puis tan⁡(x^)=0,80,6=43\tan(\widehat{x}) = \dfrac{0{,}8}{0{,}6} = \dfrac{4}{3}.
  3. Comme 32°+58°=90°32° + 58° = 90°, ces angles sont complémentaires : sin⁡(58°)=cos⁡(32°)≈0,848\sin(58°) = \cos(32°) \approx 0{,}848.