Trigonométrie dans le triangle rectangle

1. Nommer les côtés par rapport à un angle

Définition. Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu donné (autre que l’angle droit), on distingue trois côtés : l’hypoténuse (toujours opposée à l’angle droit), le côté opposé à l’angle considéré, et le côté adjacent à cet angle (qui n’est pas l’hypoténuse).

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu

Définition. Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\widehat{x}$ : $$\cos(\widehat{x}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \sin(\widehat{x}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan(\widehat{x}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$$

Astuce. Un moyen mnémotechnique classique : « SOH-CAH-TOA » — Sinus = Opposé sur Hypoténuse, Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse, Tangente = Opposé sur Adjacent.

Exemple. Dans un triangle rectangle avec, par rapport à l’angle $\widehat{C}$, un côté opposé de $6\,\text{cm}$, un côté adjacent de $8\,\text{cm}$, et une hypoténuse de $10\,\text{cm}$ : $\cos(\widehat{C}) = \dfrac{8}{10} = 0{,}8$ ; $\sin(\widehat{C}) = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$ ; $\tan(\widehat{C}) = \dfrac{6}{8} = 0{,}75$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Calculer une longueur avec la trigonométrie

Attention à la calculatrice. Avant tout calcul, vérifie qu’elle est en mode degrés (affichage « DEG » ou « D » ; le mode « RAD » donnerait des valeurs fausses). N’arrondis qu’à la fin : garde toutes les décimales de $\cos$, $\sin$ ou $\tan$ dans la calculatrice au lieu de recopier une valeur déjà arrondie.

Exemple. Dans un triangle rectangle en $B$, l’angle en $C$ mesure $35°$ et l’hypoténuse $AC = 12\,\text{cm}$. Calculons le côté opposé $AB$. On utilise le sinus : $\sin(35°) = \dfrac{AB}{12}$, donc $AB = 12 \times \sin(35°) \approx 12 \times 0{,}574 \approx 6{,}9\,\text{cm}$.

Exemple avec l’hypoténuse inconnue. Dans un triangle $ABC$ rectangle en $B$, l’angle en $C$ mesure $35°$ et $BC = 8\,\text{cm}$. Le côté connu ($BC$) est adjacent à l’angle et on cherche l’hypoténuse $AC$ : c’est le cosinus. $\cos(35°) = \dfrac{8}{AC}$, donc $AC = \dfrac{8}{\cos(35°)} \approx 9{,}8\,\text{cm}$.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Calculer un angle avec la trigonométrie

Méthode. Lorsque l’on connaît deux côtés du triangle rectangle, on peut calculer la valeur d’un angle à l’aide des fonctions trigonométriques inverses de la calculatrice (touches $\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$, $\tan^{-1}$, parfois notées $\arccos$, $\arcsin$, $\arctan$).

Exemple. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à un angle $\widehat{x}$ mesure $5\,\text{cm}$ et le côté adjacent mesure $7\,\text{cm}$. On calcule $\tan(\widehat{x}) = \dfrac{5}{7} \approx 0{,}714$, puis, à la calculatrice, $\widehat{x} = \tan^{-1}(0{,}714) \approx 35{,}5°$.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Relations entre cosinus, sinus et tangente

Propriété. Pour un angle aigu $\widehat{x}$ d’un triangle rectangle :

• $0 < \cos(\widehat{x}) < 1$ et $0 < \sin(\widehat{x}) < 1$, car l’hypoténuse est le plus grand côté (la tangente, elle, peut dépasser $1$) ;
• $\tan(\widehat{x}) = \dfrac{\sin(\widehat{x})}{\cos(\widehat{x})}$ ;
• $\cos^2(\widehat{x}) + \sin^2(\widehat{x}) = 1$.

Pourquoi ? Avec les notations du cours, $\dfrac{\sin}{\cos} = \dfrac{\text{opposé}/\text{hypoténuse}}{\text{adjacent}/\text{hypoténuse}} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \tan$ ; et $\cos^2 + \sin^2 = \dfrac{\text{adjacent}^2 + \text{opposé}^2}{\text{hypoténuse}^2} = 1$ d’après le théorème de Pythagore (voir le chapitre de 4e).

Propriété (angles complémentaires). Les deux angles aigus d’un triangle rectangle ont une somme de $90°$. Le côté opposé à l’un est adjacent à l’autre, donc : $$\cos(\widehat{x}) = \sin(90° - \widehat{x}) \qquad \sin(\widehat{x}) = \cos(90° - \widehat{x})$$

Exemple. On sait que $\cos(\widehat{x}) = 0{,}6$ avec $\widehat{x}$ aigu. Alors $\sin^2(\widehat{x}) = 1 - 0{,}6^2 = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$, donc $\sin(\widehat{x}) = 0{,}8$ (positif, car l’angle est aigu), puis $\tan(\widehat{x}) = \dfrac{0{,}8}{0{,}6} = \dfrac{4}{3}$.

→ S’entraîner : Exercice 6

6. Choisir entre Pythagore et trigonométrie

Dans un triangle rectangle, le choix de l’outil dépend de ce que l’on connaît :

• deux côtés connus et un côté cherché : théorème de Pythagore ;
• un angle aigu et un côté connus, un côté cherché : cosinus, sinus ou tangente ;
• deux côtés connus et un angle cherché : fonction trigonométrique inverse ;
• un angle aigu connu, l’autre angle cherché : $90°$ moins l’angle connu, sans calcul trigonométrique.

Rédaction type. « Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, on a $\cos(\widehat{C}) = \dfrac{BC}{AC}$ », puis on remplace par les valeurs données, on isole l’inconnue, on calcule et on conclut avec l’unité et l’arrondi demandé.

→ S’entraîner : Exercices 7 et 8