Translations et vecteurs — Exercices d'application

1. Dans un parallélogramme $ABDC$, les côtés $[AB]$ et $[CD]$ sont opposés, donc parallèles et de même longueur, orientés dans le même sens : le vecteur $\overrightarrow{CD}$ est donc égal à $\overrightarrow{AB}$.
2. Un vecteur est entièrement défini par trois caractéristiques : sa direction (la droite qui le porte), son sens (vers lequel il pointe le long de cette direction), et sa longueur (aussi appelée norme, qui mesure son étendue).

1. L’opposé d’un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est le vecteur $\overrightarrow{BA}$ : même direction, même longueur, mais sens inversé. L’opposé de $\overrightarrow{MN}$ est donc $\overrightarrow{NM}$.
2. Lorsque deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux, le quadrilatère formé en reliant ces quatre points dans l’ordre $ABDC$ est un parallélogramme (éventuellement aplati si les quatre points sont alignés) — c’est la propriété fondamentale qui relie vecteurs et parallélogrammes.
3. Un vecteur de longueur nulle est appelé le vecteur nul, noté $\vec{0}$. Comme $\overrightarrow{PQ}$ a une longueur nulle, cela signifie qu’il n’y a en réalité aucune distance entre $P$ et $Q$ : les deux points sont donc confondus (c’est le même point).

1. La somme de deux vecteurs enchaînés bout à bout — où le point d’arrivée du premier est le point de départ du second — donne le vecteur reliant directement le point de départ initial au point d’arrivée final : $\overrightarrow{RS} + \overrightarrow{ST} = \overrightarrow{RT}$.
2. Ici, $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$ (la translation qui envoie $A$ sur $B$) et $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{BC}$ (la translation qui envoie $B$ sur $C$). D’après la définition de la somme de vecteurs, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ : c’est donc le vecteur $\overrightarrow{AC}$ qui représente directement le résultat combiné des deux translations successives, sans qu’il soit nécessaire de passer par l’étape intermédiaire en $B$.

La relation de Chasles, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$, permet de simplifier toute somme de vecteurs enchaînés en repérant les lettres qui se « rejoignent » d’un vecteur à l’autre.

1. C’est l’application directe de la relation de Chasles : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
2. On applique la relation de Chasles une première fois sur les deux premiers vecteurs : $\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR}$. Il reste alors $\overrightarrow{PR} + \overrightarrow{RS}$, auquel on applique de nouveau la relation : $\overrightarrow{PR} + \overrightarrow{RS} = \overrightarrow{PS}$.
3. En appliquant la relation de Chasles, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA}$. Or un vecteur $\overrightarrow{AA}$, dont le point de départ et le point d’arrivée sont confondus, a une longueur nulle : c’est donc le vecteur nul, $\vec{0}$ — ce qui est cohérent, puisqu’on est parti de $A$ pour finalement y revenir.

1. En appliquant deux fois la relation de Chasles successivement : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$, puis $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$. Le déplacement global du drone est donc représenté par le vecteur unique $\overrightarrow{AD}$.
2. En ajoutant le quatrième déplacement à la somme précédente, on obtient $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA}$. Or, d’après la question 3 de l’exercice 4 ($\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0}$), une telle somme (où le point d’arrivée final rejoint exactement le point de départ) donne toujours le vecteur nul, $\vec{0}$ — ce qui est cohérent avec le fait que le drone est revenu exactement à sa position initiale $A$.
3. Non, rien ne garantit que $\overrightarrow{DA}$ ait la même longueur que $\overrightarrow{AB}$. La propriété qui donne des longueurs égales entre deux vecteurs opposés ne s’applique que si les deux vecteurs relient exactement les deux mêmes points, dans un sens puis dans l’autre (ce qui donnerait ici $\overrightarrow{BA}$, l’opposé exact de $\overrightarrow{AB}$). Or le trajet du drone passe par quatre points différents ($A$, $B$, $C$, $D$) avant de refermer la boucle : chaque déplacement peut donc avoir sa propre longueur et sa propre direction, sans lien de symétrie particulier entre le premier déplacement $\overrightarrow{AB}$ et le dernier $\overrightarrow{DA}$.

1. On déplace chacun des trois sommets de $4$ carreaux vers la droite et de $3$ carreaux vers le bas, puis on relie $E'$, $F'$ et $G'$.
2. Une translation conserve les longueurs et les angles : $E'F' = EF = 6\,\text{cm}$ et $\widehat{E'} = \widehat{E} = 40°$.
3. Comme $\overrightarrow{EE'} = \overrightarrow{FF'} = \vec{u}$, le quadrilatère $EFF'E'$ est un parallélogramme ; ses côtés opposés $[EF]$ et $[E'F']$ sont donc parallèles (et de même longueur) : $(EF) \parallel (E'F')$.
4. Le déplacement forme un triangle rectangle de côtés $4$ et $3$ (carreaux) : d’après le théorème de Pythagore, $EE'^2 = 4^2 + 3^2 = 25$, donc $EE' = 5\,\text{cm}$.

1. Dans le parallélogramme $ABCD$ (sommets dans l’ordre), $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$.
2. Règle du parallélogramme : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$.
3. $I$ est le milieu de $[AC]$, donc $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IC}$.
4. On applique Chasles de proche en proche : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$, puis $+\overrightarrow{CD}$ donne $\overrightarrow{AD}$, puis $+\overrightarrow{DA}$ donne $\overrightarrow{AA} = \vec{0}$.
5. Comme $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, on a $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DD} = \vec{0}$ : $\overrightarrow{CD}$ est l’opposé de $\overrightarrow{AB}$.

1. $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MP}$, puis $\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PM} = \overrightarrow{MM} = \vec{0}$.
2. On réordonne : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$.
3. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0}$, donc l’expression vaut $\vec{0} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CD}$.
4. On réordonne : $\overrightarrow{RS} + \overrightarrow{ST} + \overrightarrow{TU} + \overrightarrow{UV} = \overrightarrow{RT} + \overrightarrow{TU} + \overrightarrow{UV} = \overrightarrow{RU} + \overrightarrow{UV} = \overrightarrow{RV}$.
5. Par Chasles, $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MP}$, donc $\overrightarrow{MP} = \vec{0}$ : le vecteur $\overrightarrow{MP}$ est nul, donc $M$ et $P$ sont confondus.