Translations et vecteurs

1. La translation, revisitée avec un vecteur

Définition. Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ représente un déplacement : il a une direction, un sens et une longueur (sa norme). La translation qui transforme $A$ en $B$ est appelée la « translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ ».

Exemple. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ décrit le déplacement qui envoie $A$ sur $B$ : sa direction est celle de la droite $(AB)$, son sens va de $A$ vers $B$, et sa longueur est $AB$.

La longueur du vecteur $\overrightarrow{AB}$ s’appelle sa norme ; elle est égale à la distance $AB$.

Propriété. Si $ABDC$ est un parallélogramme, alors $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ : les deux vecteurs ont la même direction, le même sens et la même longueur.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Vecteurs égaux, vecteur nul, opposé

Définition. Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur (ils peuvent être représentés à des endroits différents du plan). Le vecteur nul, noté $\vec{0}$, a une longueur nulle. L’opposé d’un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est le vecteur $\overrightarrow{BA}$, de même longueur et même direction, mais de sens opposé.

Exemple. Si $ABDC$ est un parallélogramme, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ (vecteurs égaux), et l’opposé de $\overrightarrow{AB}$ est $\overrightarrow{BA}$.

Propriété (réciproque). Si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, alors $ABDC$ est un parallélogramme (éventuellement aplati, si les quatre points sont alignés). Attention à l’ordre des lettres : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ correspond au parallélogramme $ABDC$, et non $ABCD$. Dans un parallélogramme $ABCD$ (sommets dans l’ordre), on a $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. La somme de deux vecteurs

Définition. La somme de deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ (enchaînés bout à bout) est le vecteur $\overrightarrow{AC}$ : c’est le résultat des deux translations effectuées l’une après l’autre.

On peut additionner deux vecteurs dans n’importe quel ordre : $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$.

Exemple. Si on applique d’abord la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$, puis celle de vecteur $\overrightarrow{BC}$, le résultat global équivaut à une seule translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. La relation de Chasles

Propriété (relation de Chasles). Pour trois points quelconques $A$, $B$, $C$ du plan : $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$$

Exemple. Simplifions $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$. D’après Chasles : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$, puis $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$. La somme totale se simplifie donc en $\overrightarrow{AD}$.

Cas particulier. Si le point d’arrivée est le point de départ, on obtient le vecteur nul : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}$. C’est ce qui justifie que $\overrightarrow{BA}$ soit l’opposé de $\overrightarrow{AB}$.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Image d’une figure par une translation

Définition. L’image d’un point $M$ par la translation de vecteur $\vec{u}$ est le point $M'$ tel que $\overrightarrow{MM'} = \vec{u}$. Pour une figure, on translate chacun de ses points (en pratique, ses sommets).

Propriété. Une translation conserve les longueurs, les angles, le parallélisme et les aires : l’image d’un segment est un segment de même longueur, l’image d’une droite est une droite parallèle, l’image d’un triangle est un triangle superposable à l’original, l’image d’un cercle est un cercle de même rayon. Autrement dit, la figure est seulement déplacée, sans être déformée.

Exemple. Si $M'$ et $N'$ sont les images de $M$ et $N$, alors $\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{NN'} = \vec{u}$, donc $MNN'M'$ est un parallélogramme : $M'N' = MN$ et $(M'N') \parallel (MN)$.

→ S’entraîner : Exercice 6

6. Vecteurs, milieu et parallélogramme

Propriété. $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.

Propriété (milieu). $I$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}$.

Propriété (règle du parallélogramme). Si $ABCD$ est un parallélogramme, alors $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$$

Pourquoi ? Comme $ABCD$ est un parallélogramme, $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$. Donc $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ d’après la relation de Chasles.

Exemple. Dans le parallélogramme $ABCD$, on a $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}$ : en faisant le tour complet du parallélogramme, on revient au point de départ.

→ S’entraîner : Exercices 7 et 8