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3e⏱ 50 minutes

Translations et vecteurs — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points.

Exercice 1 (4 points) — Parallélogramme et vecteurs

ABCDABCD est un parallélogramme.

  1. Donne un vecteur égal à AB→\overrightarrow{AB} et un vecteur égal à BC→\overrightarrow{BC}. (1 point)
  2. Donne l'opposé du vecteur AD→\overrightarrow{AD}. (1 point)
  3. Simplifie AB→+AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} et justifie. (2 points)
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  1. ABCDABCD est un parallélogramme (sommets dans l'ordre) : AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} et BC→=AD→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}.
  2. L'opposé de AD→\overrightarrow{AD} est DA→\overrightarrow{DA}.
  3. AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} (règle du parallélogramme). En effet, AD→=BC→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}, donc AB→+AD→=AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} par la relation de Chasles.

Exercice 2 (4 points) — Relation de Chasles

Simplifie chaque expression en un seul vecteur ou en 0⃗\vec{0} :

  1. EF→+FG→\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} (0,5 point)
  2. PQ→+QR→+RS→\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} + \overrightarrow{RS} (1 point)
  3. KL→+LK→\overrightarrow{KL} + \overrightarrow{LK} (1 point)
  4. AB→+CD→+BC→+DA→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA} (1,5 point)
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  1. EF→+FG→=EG→\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{EG}.
  2. PQ→+QR→=PR→\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR}, puis PR→+RS→=PS→\overrightarrow{PR} + \overrightarrow{RS} = \overrightarrow{PS}.
  3. KL→+LK→=KK→=0⃗\overrightarrow{KL} + \overrightarrow{LK} = \overrightarrow{KK} = \vec{0}.
  4. On réordonne : AB→+BC→+CD→+DA→=AC→+CD→+DA→=AD→+DA→=AA→=0⃗\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}.

Exercice 3 (4 points) — Image par une translation

Le triangle ABCABC vérifie AB=5 cmAB = 5\,\text{cm} et B^=60°\widehat{B} = 60°. On note A′B′C′A'B'C' son image par la translation de vecteur AA′→\overrightarrow{AA'}.

  1. Donne A′B′A'B' et B′^\widehat{B'}. Justifie. (1,5 point)
  2. Que peux-tu dire des droites (AB)(AB) et (A′B′)(A'B') ? (1 point)
  3. Quelle est la nature du quadrilatère ABB′A′ABB'A' ? Justifie avec des vecteurs. (1,5 point)
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  1. Une translation conserve les longueurs et les angles : A′B′=AB=5 cmA'B' = AB = 5\,\text{cm} et B′^=B^=60°\widehat{B'} = \widehat{B} = 60°.
  2. Une translation transforme une droite en une droite parallèle : (A′B′)∥(AB)(A'B') \parallel (AB).
  3. Par définition de la translation, AA′→=BB′→\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} : le quadrilatère ABB′A′ABB'A' est donc un parallélogramme (les côtés [AA′][AA'] et [BB′][BB'] sont parallèles et de même longueur).

Exercice 4 (4 points) — Vrai ou faux ?

Pour chaque affirmation, indique si elle est vraie ou fausse et justifie brièvement.

  1. AB→=BA→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}. (1 point)
  2. Pour trois points quelconques AA, BB, CC : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. (1 point)
  3. Si MM est le milieu de [AB][AB], alors AM→=MB→\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}. (1 point)
  4. Une translation peut modifier la mesure d'un angle. (1 point)
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  1. Faux. BA→\overrightarrow{BA} est l'opposé de AB→\overrightarrow{AB} : même direction et même longueur, mais sens inversé (ils ne sont égaux que si A=BA = B).
  2. Vrai. C'est la relation de Chasles, valable pour trois points quelconques.
  3. Vrai. MM milieu de [AB][AB] équivaut à AM→=MB→\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}.
  4. Faux. Une translation conserve les longueurs, les angles, le parallélisme et les aires : la figure est seulement déplacée.

Exercice 5 (4 points) — Problème : le randonneur

Un randonneur part de AA, marche jusqu'à BB, puis jusqu'à CC, puis jusqu'à DD, puis jusqu'à EE.

  1. Écris son déplacement global sous la forme d'un unique vecteur. (1,5 point)
  2. Quel vecteur doit-il suivre pour revenir directement en AA ? Que vaut la somme de ce vecteur et du déplacement global ? (1,5 point)
  3. Il remarque que AB→+BC→+CD→+DE→=0⃗\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} = \vec{0}. Que peux-tu dire des points AA et EE ? (1 point)
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  1. AB→+BC→+CD→+DE→=AC→+CD→+DE→=AD→+DE→=AE→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE}.
  2. Pour revenir en AA, il doit suivre EA→\overrightarrow{EA}, l'opposé de AE→\overrightarrow{AE}. La somme vaut AE→+EA→=AA→=0⃗\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}.
  3. Le déplacement global AE→\overrightarrow{AE} est alors nul : AA et EE sont confondus (le randonneur est revenu à son point de départ).