3e

Théorème de Thalès et réciproque — Exercices d'application

1. Les configurations de Thalès

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Exercice 1 — ⭐

Dans la configuration des triangles emboîtés avec sommet commun $A$ , quels segments doivent être parallèles pour pouvoir appliquer le théorème de Thalès ?
Nomme les deux configurations dans lesquelles s’applique le théorème de Thalès.

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Le théorème de Thalès s’applique lorsque deux droites sécantes en $A$ sont coupées par deux droites parallèles. Dans la configuration des triangles emboîtés, avec $M$ sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$ , ce sont donc les segments $[MN]$ et $[BC]$ qui doivent être parallèles.
Le théorème de Thalès s’applique dans deux configurations possibles : la configuration des triangles emboîtés et la configuration dite du papillon.

2. Le théorème de Thalès

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Exercice 2 — ⭐⭐

Dans un triangle $ABC$ , $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ , avec $(MN)$ parallèle à $(BC)$ . On donne $AM = 6\,\text{cm}$ , $AB = 9\,\text{cm}$ , $BC = 12\,\text{cm}$ .

Écris l’égalité de Thalès pour cette configuration.
Calcule $MN$ .
Si $AC = 15\,\text{cm}$ , calcule $AN$ .

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Comme $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ dans cette configuration de triangles emboîtés, le théorème de Thalès s’applique et donne : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ .
On utilise la partie de l’égalité qui relie les grandeurs déjà connues : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$ , soit $\dfrac{6}{9} = \dfrac{MN}{12}$ . Par produit en croix : $MN = \dfrac{6 \times 12}{9} = \dfrac{72}{9} = 8\,\text{cm}$ .
On utilise cette fois : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ , soit $\dfrac{6}{9} = \dfrac{AN}{15}$ . Par produit en croix : $AN = \dfrac{6 \times 15}{9} = \dfrac{90}{9} = 10\,\text{cm}$ .

3. La réciproque du théorème de Thalès

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Exercice 3 — ⭐⭐⭐

Dans un triangle $DEF$ , $G \in [DE]$ et $H \in [DF]$ , avec $D$ , $G$ , $E$ alignés dans cet ordre et $D$ , $H$ , $F$ alignés dans cet ordre. On donne $DG = 3\,\text{cm}$ , $DE = 7\,\text{cm}$ , $DH = 4{,}5\,\text{cm}$ , $DF = 10{,}5\,\text{cm}$ .

Calcule le rapport $\dfrac{DG}{DE}$ .
Calcule le rapport $\dfrac{DH}{DF}$ .
Que peux-tu en conclure sur les droites $(GH)$ et $(EF)$ ? Justifie en citant la propriété utilisée.

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$\dfrac{DG}{DE} = \dfrac{3}{7} \approx 0{,}429$ .
$\dfrac{DH}{DF} = \dfrac{4{,}5}{10{,}5} \approx 0{,}429$ .
On a vérifié au préalable que les points sont bien alignés dans le même ordre ( $D$ , $G$ , $E$ d’une part et $D$ , $H$ , $F$ d’autre part), condition indispensable pour utiliser la réciproque. Pour comparer exactement les deux rapports, on utilise un produit en croix : $3 \times 10{,}5 = 31{,}5$ et $7 \times 4{,}5 = 31{,}5$ . Les produits sont égaux, donc $\dfrac{DG}{DE} = \dfrac{DH}{DF}$ (les deux valent exactement $\dfrac{3}{7}$ ) : d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(GH)$ et $(EF)$ sont parallèles.

4. La contraposée : prouver l’absence de parallélisme

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Exercice 4 — ⭐⭐⭐

Dans un triangle $RST$ , $U \in [RS]$ et $V \in [RT]$ , avec $RU = 4\,\text{cm}$ , $RS = 10\,\text{cm}$ , $RV = 5\,\text{cm}$ , $RT = 11\,\text{cm}$ .

Calcule les deux rapports $\dfrac{RU}{RS}$ et $\dfrac{RV}{RT}$ .
Les droites $(UV)$ et $(ST)$ sont-elles parallèles ? Justifie.

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$\dfrac{RU}{RS} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4$ . $\dfrac{RV}{RT} = \dfrac{5}{11} \approx 0{,}455$ .
Comparons exactement les deux rapports par un produit en croix : $4 \times 11 = 44$ et $10 \times 5 = 50$ . Ces produits sont différents, donc les rapports sont différents. Or, s’il y avait un vrai parallélisme, le théorème de Thalès imposerait que ces deux rapports soient égaux. Comme ce n’est pas le cas, on peut affirmer, grâce à la contraposée du théorème de Thalès, que les droites $(UV)$ et $(ST)$ ne sont pas parallèles.

Exercice 5 — ⭐⭐⭐⭐

Pour estimer la hauteur d’un arbre, un élève plante un bâton vertical de $1{,}5\,\text{m}$ de haut à $8\,\text{m}$ de la base de l’arbre. Il s’éloigne ensuite jusqu’à ce que le sommet du bâton et le sommet de l’arbre soient alignés avec son œil, en se plaçant à $2\,\text{m}$ du bâton (du côté opposé à l’arbre). La distance totale entre son œil et la base de l’arbre est donc $2 + 8 = 10\,\text{m}$ .

Fais un schéma identifiant la configuration de Thalès (triangles emboîtés, avec le sol comme grand côté et les deux « hauteurs » — bâton et arbre — comme segments parallèles, car tous deux verticaux).
Écris l’égalité de Thalès permettant de calculer la hauteur $h$ de l’arbre.
Calcule cette hauteur.

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On modélise l’œil de l’élève par un point au niveau du sol (on néglige sa hauteur). Cet œil joue le rôle du sommet commun des deux triangles emboîtés. Les deux droites sécantes partant de ce sommet sont la ligne de visée vers le sommet du bâton (puis, plus loin, vers le sommet de l’arbre) et le sol lui-même. Le bâton et l’arbre, tous deux parfaitement verticaux, sont donc bien parallèles entre eux : c’est exactement la configuration nécessaire pour appliquer le théorème de Thalès.
En appliquant le théorème de Thalès à cette configuration, le rapport des distances au sol (depuis l’œil) est égal au rapport des hauteurs : $\dfrac{\text{distance à l'œil} \to \text{bâton}}{\text{distance à l'œil} \to \text{arbre}} = \dfrac{\text{hauteur du bâton}}{\text{hauteur de l'arbre}}$ , soit $\dfrac{2}{10} = \dfrac{1{,}5}{h}$ .
On résout cette égalité par un produit en croix : $2 \times h = 1{,}5 \times 10$ , donc $h = \dfrac{1{,}5 \times 10}{2} = \dfrac{15}{2} = 7{,}5\,\text{m}$ . L’arbre mesure donc environ $7{,}5\,\text{m}$ de haut.

5. La configuration du papillon

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Exercice 6 — ⭐⭐⭐⭐

Les droites $(EG)$ et $(FH)$ se coupent en $O$ , avec $O$ entre $E$ et $G$ et entre $F$ et $H$ . Les droites $(EF)$ et $(GH)$ sont parallèles. On donne $OE = 3\,\text{cm}$ , $OG = 5\,\text{cm}$ , $OF = 4{,}5\,\text{cm}$ et $EF = 4{,}2\,\text{cm}$ .

Écris l’égalité de Thalès pour cette configuration.
Calcule $OH$ , puis $GH$ .
Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ se coupent en $O'$ , avec $O'$ entre $A$ et $B$ et entre $C$ et $D$ . On donne $O'A = 2$ , $O'B = 5$ , $O'C = 3$ et $O'D = 7{,}5$ (en cm). Les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont-elles parallèles ? Et si $O'D$ valait $8$ ?

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Les droites $(EG)$ et $(FH)$ se coupent en $O$ , entre $E$ et $G$ et entre $F$ et $H$ , et $(EF) \parallel (GH)$ : d’après le théorème de Thalès (papillon), $\dfrac{OE}{OG} = \dfrac{OF}{OH} = \dfrac{EF}{GH}$ .
Avec $\dfrac{OE}{OG} = \dfrac{3}{5}$ : $\dfrac{3}{5} = \dfrac{4{,}5}{OH}$ , donc $OH = \dfrac{4{,}5 \times 5}{3} = 7{,}5\,\text{cm}$ . Puis $\dfrac{3}{5} = \dfrac{4{,}2}{GH}$ , donc $GH = \dfrac{4{,}2 \times 5}{3} = 7\,\text{cm}$ .
Les points sont bien alignés dans le bon ordre : $O'$ est entre $A$ et $B$ et entre $C$ et $D$ . On compare $\dfrac{O'A}{O'B} = \dfrac{2}{5}$ et $\dfrac{O'C}{O'D} = \dfrac{3}{7{,}5}$ . Par un produit en croix : $2 \times 7{,}5 = 15$ et $5 \times 3 = 15$ . Les rapports sont égaux, donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, $(AC) \parallel (BD)$ . Avec $O'D = 8$ , les produits en croix valent $2 \times 8 = 16$ et $5 \times 3 = 15$ : ils sont différents, donc, par contraposée, $(AC)$ et $(BD)$ ne sont pas parallèles.