Théorème de Thalès et réciproque

1. Les configurations de Thalès

Définition. Le théorème de Thalès s’applique dans deux types de configurations : la configuration des triangles emboîtés (deux droites sécantes en un point, coupées par deux parallèles) et la configuration dite du papillon (deux droites sécantes, coupées par deux parallèles de part et d’autre du point d’intersection).

La configuration du papillon est étudiée à la section 5.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Le théorème de Thalès

Propriété (théorème de Thalès). Dans la configuration des triangles emboîtés, si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, avec $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$, alors : $$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$$

Exemple. Dans un triangle $ABC$, avec $M \in [AB]$, $N \in [AC]$ et $(MN)$ parallèle à $(BC)$, on donne $AM = 4\,\text{cm}$, $AB = 10\,\text{cm}$, $AC = 12\,\text{cm}$. On calcule $AN$ : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, donc $\dfrac{4}{10} = \dfrac{AN}{12}$, donc $AN = \dfrac{4 \times 12}{10} = 4{,}8\,\text{cm}$.

Rédaction type. Une démonstration avec Thalès se rédige toujours en trois temps : on énonce la situation (les hypothèses), on cite la propriété, puis on calcule.

Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$, $N$ est sur $[AC]$ et $(MN) \parallel (BC)$. D’après le théorème de Thalès, $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$. Donc $\dfrac{4}{10} = \dfrac{AN}{12}$, d’où $AN = \dfrac{4 \times 12}{10} = 4{,}8\,\text{cm}$.

Attention. Dans chaque rapport, on met les longueurs dans le même ordre : la longueur du petit triangle au numérateur, celle du grand triangle au dénominateur (ou l’inverse partout). Écrire par exemple $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AC}{AN}$ est faux.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. La réciproque du théorème de Thalès

Propriété (réciproque). Dans la configuration des triangles emboîtés, si les points $A$, $M$, $B$ d’une part et $A$, $N$, $C$ d’autre part sont alignés dans le même ordre, et si $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Attention. La réciproque exige de vérifier l’alignement des points dans le même ordre avant de comparer les rapports : cette condition, souvent négligée, est indispensable pour appliquer correctement la réciproque.

Méthode pour comparer deux rapports. On compare toujours les rapports exactement, sans passer par des valeurs arrondies : soit en les simplifiant, soit par un produit en croix ($\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ si et seulement si $a \times d = b \times c$). Un écart d’arrondi ne prouve rien, ni dans un sens ni dans l’autre.

Exemple. Si $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4$ et $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{4{,}8}{12} = 0{,}4$, ces deux rapports sont égaux : d’après la réciproque de Thalès, $(MN)$ est parallèle à $(BC)$.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. La contraposée : prouver l’absence de parallélisme

Méthode. Si, en comparant les deux rapports $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$, on trouve deux valeurs différentes, alors on peut affirmer, grâce à la contraposée du théorème de Thalès, que les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

Exemple. Si $\dfrac{AM}{AB} = 0{,}5$ et $\dfrac{AN}{AC} = 0{,}6$, ces deux rapports sont différents : $(MN)$ et $(BC)$ ne sont donc pas parallèles.

Exemple avec un produit en croix. Avec $AM = 5$, $AB = 8$, $AN = 6$ et $AC = 10$ : on compare $\dfrac{5}{8}$ et $\dfrac{6}{10}$. Les produits en croix valent $5 \times 10 = 50$ et $8 \times 6 = 48$ : ils sont différents, donc les rapports aussi, et $(MN)$ n’est pas parallèle à $(BC)$.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. La configuration du papillon

Propriété (théorème de Thalès, configuration du papillon). Les droites $(BM)$ et $(CN)$ se coupent en $A$, avec $A$ entre $B$ et $M$ et entre $C$ et $N$. Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, alors : $$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$$

L’égalité s’écrit exactement comme dans les triangles emboîtés : c’est seulement la position des points qui change, les deux triangles $ABC$ et $AMN$ étant « retournés » l’un par rapport à l’autre.

Exemple. Avec $(BC) \parallel (MN)$, $AB = 6$, $AM = 4$, $AC = 7{,}5$ et $BC = 9$ (en cm). Le rapport commun est $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$. Donc $AN = 7{,}5 \times \dfrac{2}{3} = 5\,\text{cm}$ et $MN = 9 \times \dfrac{2}{3} = 6\,\text{cm}$.

Réciproque. Si $A$ est entre $B$ et $M$, si $A$ est entre $C$ et $N$ (l’alignement doit respecter cet ordre), et si $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, alors $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles. Comme pour les triangles emboîtés, des rapports différents prouvent, par contraposée, que les droites ne sont pas parallèles.

Exemple. Avec $AB = 6$, $AM = 9$, $AC = 4$, $AN = 6$ : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$. Les rapports sont égaux, donc $(BC) \parallel (MN)$. Avec $AN = 7$ à la place, $\dfrac{7}{4} \neq \dfrac{3}{2}$ : les droites ne seraient pas parallèles.

→ S’entraîner : Exercice 6