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3e⏱ 50 minutes

Théorème de Thalès et réciproque — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points.

Exercice 1 (4 points) — Triangles emboîtés

Dans un triangle ABCABC, M∈[AB]M \in [AB], N∈[AC]N \in [AC] et (MN)∥(BC)(MN) \parallel (BC). On donne AM=3 cmAM = 3\,\text{cm}, AB=8 cmAB = 8\,\text{cm}, AC=10 cmAC = 10\,\text{cm} et BC=12 cmBC = 12\,\text{cm}.

  1. Rédige l'égalité de Thalès en citant les hypothèses. (1 point)
  2. Calcule ANAN. (1,5 point)
  3. Calcule MNMN. (1,5 point)
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  1. Dans le triangle ABCABC, MM est sur [AB][AB], NN est sur [AC][AC] et (MN)∥(BC)(MN) \parallel (BC). D'après le théorème de Thalès : AMAB=ANAC=MNBC\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}.
  2. 38=AN10\dfrac{3}{8} = \dfrac{AN}{10}, donc AN=3×108=308=3,75 cmAN = \dfrac{3 \times 10}{8} = \dfrac{30}{8} = 3{,}75\,\text{cm}.
  3. 38=MN12\dfrac{3}{8} = \dfrac{MN}{12}, donc MN=3×128=368=4,5 cmMN = \dfrac{3 \times 12}{8} = \dfrac{36}{8} = 4{,}5\,\text{cm}.

Exercice 2 (4 points) — Le papillon

Les droites (BM)(BM) et (CN)(CN) se coupent en AA, avec AA entre BB et MM et entre CC et NN. On sait que (BC)∥(MN)(BC) \parallel (MN), AB=5 cmAB = 5\,\text{cm}, AM=2 cmAM = 2\,\text{cm}, AC=6 cmAC = 6\,\text{cm} et BC=8 cmBC = 8\,\text{cm}.

  1. Fais un schéma à main levée de la configuration et écris l'égalité de Thalès. (1 point)
  2. Calcule ANAN. (1,5 point)
  3. Calcule MNMN. (1,5 point)
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  1. Schéma : deux droites sécantes en AA, BB et CC d'un côté, MM et NN de l'autre, avec [BC][BC] et [MN][MN] parallèles. Les droites (BM)(BM) et (CN)(CN) se coupent en AA, entre BB et MM et entre CC et NN, et (BC)∥(MN)(BC) \parallel (MN) : d'après le théorème de Thalès, AMAB=ANAC=MNBC\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}.
  2. 25=AN6\dfrac{2}{5} = \dfrac{AN}{6}, donc AN=2×65=125=2,4 cmAN = \dfrac{2 \times 6}{5} = \dfrac{12}{5} = 2{,}4\,\text{cm}.
  3. 25=MN8\dfrac{2}{5} = \dfrac{MN}{8}, donc MN=2×85=165=3,2 cmMN = \dfrac{2 \times 8}{5} = \dfrac{16}{5} = 3{,}2\,\text{cm}.

Exercice 3 (4 points) — Réciproque

Dans un triangle ABCABC, M∈[AB]M \in [AB] et N∈[AC]N \in [AC]. On donne AM=2,4 cmAM = 2{,}4\,\text{cm}, AB=6 cmAB = 6\,\text{cm}, AN=3,2 cmAN = 3{,}2\,\text{cm} et AC=8 cmAC = 8\,\text{cm}.

  1. Vérifie que les points sont alignés dans le bon ordre. (0,5 point)
  2. Compare exactement les rapports AMAB\dfrac{AM}{AB} et ANAC\dfrac{AN}{AC} par un produit en croix. (2 points)
  3. Que peux-tu en conclure ? Cite la propriété utilisée. (1,5 point)
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  1. M∈[AB]M \in [AB] et N∈[AC]N \in [AC] : AA, MM, BB d'une part et AA, NN, CC d'autre part sont alignés dans le même ordre.
  2. Produits en croix : AM×AC=2,4×8=19,2AM \times AC = 2{,}4 \times 8 = 19{,}2 et AB×AN=6×3,2=19,2AB \times AN = 6 \times 3{,}2 = 19{,}2. Ils sont égaux, donc AMAB=ANAC\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} (les deux valent exactement 0,40{,}4).
  3. Les points étant alignés dans le même ordre et les rapports égaux, la réciproque du théorème de Thalès permet d'affirmer que (MN)∥(BC)(MN) \parallel (BC).

Exercice 4 (4 points) — Contraposée

Dans un triangle ABCABC, M∈[AB]M \in [AB] et N∈[AC]N \in [AC]. On donne AM=5 cmAM = 5\,\text{cm}, AB=8 cmAB = 8\,\text{cm}, AN=6 cmAN = 6\,\text{cm} et AC=10 cmAC = 10\,\text{cm}.

  1. Compare exactement AMAB\dfrac{AM}{AB} et ANAC\dfrac{AN}{AC} par un produit en croix. (2 points)
  2. Les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) sont-elles parallèles ? Justifie en citant la propriété. (2 points)
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  1. Produits en croix : AM×AC=5×10=50AM \times AC = 5 \times 10 = 50 et AB×AN=8×6=48AB \times AN = 8 \times 6 = 48. Ils sont différents, donc AMAB≠ANAC\dfrac{AM}{AB} \neq \dfrac{AN}{AC} (en effet 58=0,625\dfrac{5}{8} = 0{,}625 et 610=0,6\dfrac{6}{10} = 0{,}6).
  2. Si (MN)(MN) était parallèle à (BC)(BC), le théorème de Thalès imposerait AMAB=ANAC\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}. Ce n'est pas le cas : d'après la contraposée du théorème de Thalès, (MN)(MN) et (BC)(BC) ne sont pas parallèles.

Exercice 5 (4 points) — Problème : la largeur d'une mare

On veut connaître la largeur MNMN d'une mare. Depuis un point OO, on mesure OM=30 mOM = 30\,\text{m} et ON=24 mON = 24\,\text{m} (avec OO entre MM et M′M' et entre NN et N′N'). On place M′M' sur la droite (MO)(MO) avec OM′=10 mOM' = 10\,\text{m}, puis N′N' sur la droite (NO)(NO) avec ON′=8 mON' = 8\,\text{m}, et on mesure M′N′=5 mM'N' = 5\,\text{m}.

  1. Démontre que les droites (MN)(MN) et (M′N′)(M'N') sont parallèles. (2 points)
  2. Calcule la largeur MNMN de la mare. (2 points)
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  1. Les points MM, OO, M′M' sont alignés dans cet ordre, ainsi que NN, OO, N′N' (papillon). On compare OM′OM=1030=13\dfrac{OM'}{OM} = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3} et ON′ON=824=13\dfrac{ON'}{ON} = \dfrac{8}{24} = \dfrac{1}{3}. Les rapports sont égaux : d'après la réciproque du théorème de Thalès, (M′N′)∥(MN)(M'N') \parallel (MN).
  2. Les droites (MM′)(MM') et (NN′)(NN') se coupent en OO et (M′N′)∥(MN)(M'N') \parallel (MN) : d'après le théorème de Thalès, OM′OM=ON′ON=M′N′MN\dfrac{OM'}{OM} = \dfrac{ON'}{ON} = \dfrac{M'N'}{MN}, soit 13=5MN\dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{MN}, d'où MN=5×3=15 mMN = 5 \times 3 = 15\,\text{m}. La mare mesure 1515 m de large.