Statistiques : quartiles et boîtes à moustaches — Exercices d'application

L’effectif cumulé croissant d’une valeur compte toutes les données inférieures ou égales à cette valeur : on l’obtient en additionnant progressivement les effectifs des valeurs rangées dans l’ordre croissant.

1. Comme $8$ est la plus petite valeur de la série, son effectif cumulé croissant est simplement son propre effectif : $2$.
2. On ajoute l’effectif de $12$ à l’effectif cumulé précédent : $2 + 5 = 7$.
3. Pour $15$, l’effectif cumulé est $7 + 6 = 13$. Pour $18$, on ajoute encore l’effectif de $18$ : $13 + 3 = 16$. Puisque $18$ est la plus grande valeur de la série, cet effectif cumulé final représente l’effectif total de toute la série.

1. L’effectif total est $N = 16$. Le rang de $Q_1$ se calcule par $N \div 4 = 16 \div 4 = 4$. On cherche donc la $4^{\text{e}}$ valeur de la série rangée : en comptant, $150, 152, 155, 158$ — la $4^{\text{e}}$ valeur est $158$. Donc $Q_1 = 158$.
2. Le rang de $Q_3$ se calcule par $3N \div 4 = 3 \times 16 \div 4 = 48 \div 4 = 12$. On cherche la $12^{\text{e}}$ valeur de la série : en comptant jusqu’à la $12^{\text{e}}$ position, on trouve $170$. Donc $Q_3 = 170$.
3. L’écart interquartile est la différence entre le troisième et le premier quartile : $Q_3 - Q_1 = 170 - 158 = 12$.

1. La boîte centrale d’une boîte à moustaches s’étend toujours du premier quartile $Q_1$ au troisième quartile $Q_3$. Ici, elle irait donc de $158$ à $170$, avec un trait vertical à l’intérieur de la boîte marquant la position de la médiane, $164$.
2. Les « moustaches » sont les segments qui relient les bords de la boîte centrale aux valeurs extrêmes de la série. On trace donc un premier segment du bord gauche de la boîte ($158$) jusqu’au minimum ($150$), et un second segment du bord droit de la boîte ($170$) jusqu’au maximum ($180$).
3. La boîte centrale, qui va de $Q_1$ à $Q_3$, contient au moins $50\,\%$ des données de la série. Ici, ce sont les valeurs de rang $4$ à $12$, soit $12 - 4 + 1 = 9$ valeurs sur $16$, c’est-à-dire $56{,}25\,\%$ des données.

1. L’écart interquartile se calcule par $Q_3 - Q_1$. Classe A : $56 - 48 = 8$. Classe B : $64 - 50 = 14$.
2. Plus l’écart interquartile est grand, plus les valeurs centrales de la série sont dispersées. Comme $14 > 8$, c’est la classe B qui a des temps plus dispersés au centre de la distribution.
3. La médiane représente la valeur centrale d’une série de temps de course, où un temps plus faible signifie une meilleure performance. La classe A a une médiane de $52\,\text{s}$, contre $58\,\text{s}$ pour la classe B : comme $52 < 58$, la classe A semble donc globalement plus rapide sur cette épreuve.
4. L’affirmation de l’entraîneur est cohérente avec les deux calculs précédents : d’une part, l’écart interquartile plus faible de la classe A ($8$ contre $14$) confirme qu’elle est plus homogène (ses temps sont plus resserrés) ; d’autre part, sa médiane plus faible ($52\,\text{s}$ contre $58\,\text{s}$) confirme qu’elle est globalement plus performante sur ce test.

1. Les effectifs cumulés croissants sont $7$, $7 + 9 = 16$, $16 + 8 = 24$, $24 + 4 = 28$ et $28 + 2 = 30$ (l’effectif total, bien égal à $30$).
2. Rang de $Q_1$ : $30 \div 4 = 7{,}5$, arrondi à $8$. Le premier cumulé supérieur ou égal à $8$ est $16$, atteint pour la valeur $1$ : $Q_1 = 1$. Pour la médiane, $N = 30$ est pair : on prend les $15^{\text{e}}$ et $16^{\text{e}}$ valeurs. Le cumulé $16$ correspond à la valeur $1$, donc les deux valeurs valent $1$ et la médiane est $1$. Rang de $Q_3$ : $3 \times 30 \div 4 = 22{,}5$, arrondi à $23$. Le premier cumulé supérieur ou égal à $23$ est $24$, atteint pour la valeur $2$ : $Q_3 = 2$.
3. Minimum $0$, $Q_1 = 1$, médiane $1$, $Q_3 = 2$, maximum $4$. La boîte va de $1$ à $2$, avec le trait de la médiane sur le bord gauche de la boîte ($1$) ; les moustaches vont de $0$ à $1$ et de $2$ à $4$.
4. Comme $Q_3 = 2$, au moins $75\,\%$ des élèves ont au plus 2 frères et sœurs.