Statistiques : quartiles et boîtes à moustaches

1. Les effectifs cumulés croissants

Définition. L’effectif cumulé croissant d’une valeur est le nombre total de données inférieures ou égales à cette valeur.

Exemple. Une série a pour valeurs $2$ (effectif $3$), $5$ (effectif $4$), $8$ (effectif $2$). Effectifs cumulés croissants : pour $2$, $3$ ; pour $5$, $3+4=7$ ; pour $8$, $7+2=9$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Les quartiles d’une série

Définition. Le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins $25\,\%$ des données lui soient inférieures ou égales. Le troisième quartile $Q_3$ est la plus petite valeur telle qu’au moins $75\,\%$ des données lui soient inférieures ou égales.

Rappel. La médiane (voir le chapitre de 4e sur les statistiques) est la valeur qui partage la série en deux groupes de même effectif : si l’effectif total est pair, c’est la moyenne des deux valeurs centrales. Les trois valeurs $Q_1$, médiane et $Q_3$ découpent donc la série en quatre parties d’effectifs voisins.

Exemple. Pour une série de $20$ valeurs rangées, $Q_1$ est la valeur de rang $20 \div 4 = 5$, et $Q_3$ est la valeur de rang $3 \times 20 \div 4 = 15$.

Exemple avec un quotient non entier. Soit la série rangée de $15$ valeurs : $3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 20, 21, 23, 25$. On a $\dfrac{15}{4} = 3{,}75$, arrondi à $4$ : $Q_1$ est la $4^{\text{e}}$ valeur, soit $Q_1 = 8$. On a $\dfrac{3 \times 15}{4} = 11{,}25$, arrondi à $12$ : $Q_3$ est la $12^{\text{e}}$ valeur, soit $Q_3 = 20$. La médiane est la $8^{\text{e}}$ valeur (effectif impair) : $14$.

Interprétation. Dire que $Q_1 = 8$ signifie qu’au moins un quart des valeurs sont inférieures ou égales à $8$ ; dire que $Q_3 = 20$ signifie qu’au moins trois quarts des valeurs sont inférieures ou égales à $20$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Construire une boîte à moustaches

Définition. Une boîte à moustaches représente graphiquement cinq valeurs clés d’une série : le minimum, le premier quartile $Q_1$, la médiane, le troisième quartile $Q_3$, et le maximum.

Propriété. La boîte, qui va de $Q_1$ à $Q_3$, contient au moins la moitié des valeurs de la série. Sa largeur, $Q_3 - Q_1$, s’appelle l’écart interquartile : plus il est petit, plus les données centrales sont resserrées.

Exemple. Pour la série de $15$ valeurs de la section 2 : minimum $3$, $Q_1 = 8$, médiane $14$, $Q_3 = 20$, maximum $25$. On choisit une échelle commune, on trace la boîte de $8$ à $20$ avec un trait à $14$, puis les moustaches jusqu’à $3$ et $25$. L’écart interquartile vaut $20 - 8 = 12$.

Remarque. Ne pas confondre l’écart interquartile avec l’étendue ($\text{maximum} - \text{minimum}$, vue en 4e) : l’étendue ($25 - 3 = 22$ ici) dépend des deux valeurs extrêmes, alors que l’écart interquartile ne mesure que la dispersion des valeurs centrales.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Comparer des séries à l’aide de boîtes à moustaches

Méthode. Placer deux boîtes à moustaches l’une au-dessus de l’autre, sur une même échelle, permet de comparer rapidement la position et la dispersion de deux séries de données.

Exemple. Si la boîte à moustaches d’une série A est globalement plus haute et plus resserrée que celle d’une série B, cela signifie que la série A a des valeurs plus élevées en moyenne, et moins dispersées, que la série B.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Quartiles à partir d’un tableau d’effectifs

Quand la série est donnée par un tableau d’effectifs, on n’écrit pas toutes les valeurs : on utilise les effectifs cumulés croissants de la section 1 pour trouver la valeur de chaque rang.

Exemple. Des notes : $8$ (effectif $2$), $10$ (effectif $3$), $12$ (effectif $5$), $14$ (effectif $6$), $16$ (effectif $4$). L’effectif total est $N = 20$ et les effectifs cumulés croissants sont $2$, $5$, $10$, $16$, $20$.

• Rang de $Q_1$ : $20 \div 4 = 5$. Le premier effectif cumulé supérieur ou égal à $5$ est $5$, atteint pour la valeur $10$ : $Q_1 = 10$.
• Médiane : $N$ est pair, on prend les $10^{\text{e}}$ et $11^{\text{e}}$ valeurs. Le cumulé $10$ correspond à la valeur $12$, et la $11^{\text{e}}$ valeur est $14$ (cumulé $16$) : médiane $= \dfrac{12 + 14}{2} = 13$.
• Rang de $Q_3$ : $3 \times 20 \div 4 = 15$. Le premier cumulé supérieur ou égal à $15$ est $16$, atteint pour la valeur $14$ : $Q_3 = 14$.

→ S’entraîner : Exercice 5